Quando falamos sobre superfícies parametrizadas X equals X left parenthesis x left parenthesis u comma v right parenthesis comma y left parenthesis u comma v right parenthesis comma z left parenthesis u comma v right parenthesis right parenthesis, é possível obter vetores X with rightwards arrow on top subscript u e X with rightwards arrow on top subscript v tangentes em um ponto da mesma. Tendo isto como base, qual das afirmações abaixo está correta?
a.
Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a somatória vetorial e obtenho um vetor não nulo e perpendicular à superfície.
b.
Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor não nulo e perpendicular à superfície.
c.
Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a divisão vetorial e obtenho um vetor nulo e perpendicular à superfície.
d.
Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor nulo e perpendicular à superfície.
e.
Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor não nulo e perpendicular à superfície.
a.
Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a somatória vetorial e obtenho um vetor não nulo e perpendicular à superfície.
b.
Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor não nulo e perpendicular à superfície.
c.
Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço a divisão vetorial e obtenho um vetor nulo e perpendicular à superfície.
d.
Caso os vetores sejam linearmente dependentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor nulo e perpendicular à superfície.
e.
Caso os vetores sejam linearmente independentes, eu faço o produto vetorial e obtenho um vetor não nulo e perpendicular à superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre superfícies parametrizadas, que são maneiras de representar superfícies no espaço usando duas variáveis, geralmente $ u $ e $ v $. A gente precisa entender como os vetores tangentes $ \vec{X}_u $ e $ \vec{X}_v $ se comportam e qual afirmação está correta sobre eles em relação à perpendicularidade da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma superfície parametrizada $ \vec{X}(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) $, os vetores $ \vec{X}_u $ e $ \vec{X}_v $ são as derivadas parciais de $ \vec{X} $ em relação a $ u $ e $ v $, respectivamente. Esses vetores são tangentes à superfície no ponto considerado.
Passo 3
Agora, se esses dois vetores $ \vec{X}_u $ e $ \vec{X}_v $ forem linearmente independentes, significa que eles não estão na mesma direção; portanto, eles formam uma base para os vetores tangentes à superfície naquele ponto. Isso é importante para determinar a normal à superfície.
Passo 4
A normal à superfície pode ser encontrada fazendo o produto vetorial entre $ \vec{X}_u $ e $ \vec{X}_v $. O produto vetorial de dois vetores tangentes dá um vetor perpendicular à superfície. A fórmula do produto vetorial é:
Se os vetores forem linearmente independentes, esse produto não será o vetor nulo.
Passo 5
Por outro lado, se $ \vec{X}_u $ e $ \vec{X}_v $ forem linearmente dependentes, significa que eles estão na mesma direção, e o produto vetorial entre eles será o vetor nulo, ou seja:
Isso indica que não há um vetor normal definido nesse caso.
Resposta
A alternativa e está correta. Se os vetores forem linearmente independentes, fazemos o produto vetorial e obtemos um vetor não nulo e perpendicular à superfície.