(a) Se a série diverge em , então ela diverge em .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a série . O enunciado diz que essa série diverge quando , e queremos saber se ela também diverge quando . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma , onde são os coeficientes e é a variável. O raio de convergência dessa série é o valor tal que a série converge para todos os valores de com e diverge para . Nos pontos onde , a série pode convergir ou divergir, dependendo do caso.

Passo 3

No enunciado, sabemos que a série diverge em . Isso significa que está fora do raio de convergência. Ou seja, o raio de convergência satisfaz . Isso porque, se fosse maior que 2, a série convergiria em , o que não é o caso.

Passo 4

Agora, queremos analisar o comportamento da série em . Sabemos que é maior que , então . Portanto, também está fora do raio de convergência da série.

Passo 5

Como está fora do raio de convergência , a série necessariamente diverge nesse ponto.

Resposta

Sim, se a série diverge em , ela também diverge em .

Exercícios relacionados

Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série converge em , então ela converge em .
Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Sejam e dois vetores com módulo igual a . Em cada item, determine o módulo de considerando que o ângulo formado entre e .
(d) .
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a integral
em que é o sólido definido por:
Resp.: .