(a) Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a série
. O enunciado diz que essa série diverge quando
, e queremos saber se ela também diverge quando
. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma
, onde
são os coeficientes e
é a variável. O raio de convergência
dessa série é o valor tal que a série converge para todos os valores de
com
e diverge para
. Nos pontos onde
, a série pode convergir ou divergir, dependendo do caso.
Passo 3
No enunciado, sabemos que a série diverge em
. Isso significa que
está fora do raio de convergência. Ou seja, o raio de convergência
satisfaz
. Isso porque, se
fosse maior que 2, a série convergiria em
, o que não é o caso.
Passo 4
Agora, queremos analisar o comportamento da série em
. Sabemos que
é maior que
, então
. Portanto,
também está fora do raio de convergência da série.
Passo 5
Como
está fora do raio de convergência
, a série
necessariamente diverge nesse ponto.
Resposta
Sim, se a série
diverge em
, ela também diverge em
.