(a) Se a série sum cn x^n diverge em x=2, então ela diverge em x=3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para analisar a série sum cn x^n. O enunciado diz que essa série diverge quando x=2, e queremos saber se ela também diverge quando x=3. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Uma série de potências tem a forma sum cn x^n, onde cn são os coeficientes e x é a variável. O raio de convergência R dessa série é o valor tal que a série converge para todos os valores de x com |x| < R e diverge para |x| > R. Nos pontos onde |x| = R, a série pode convergir ou divergir, dependendo do caso.

Passo 3

No enunciado, sabemos que a série diverge em x=2. Isso significa que x=2 está fora do raio de convergência. Ou seja, o raio de convergência R satisfaz R <= 2. Isso porque, se R fosse maior que 2, a série convergiria em x=2, o que não é o caso.

Passo 4

Agora, queremos analisar o comportamento da série em x=3. Sabemos que 3 é maior que 2, então |3| > 2 >= R. Portanto, x=3 também está fora do raio de convergência da série.

Passo 5

Como x=3 está fora do raio de convergência R, a série sum cn x^n necessariamente diverge nesse ponto.

Resposta

Sim, se a série sum cn x^n diverge em x=2, ela também diverge em x=3.

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