Falso ou verdadeiro? Justifique.
(e) Se uma função
tem derivadas parciais
e
contínuas, então
é diferenciável.
(e) Se uma função
Passo 1
Vamos lá! A questão está perguntando se uma função de duas variáveis,
, que tem as derivadas parciais
e
contínuas, é necessariamente diferenciável. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, o que são derivadas parciais? As derivadas parciais
e
mostram como a função
muda quando a gente varre cada uma das variáveis individualmente, ou seja, como
varia com
mantendo
constante e vice-versa.
Passo 3
Agora, o que significa uma função ser diferenciável? Uma função
é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada de forma muito boa por um plano linear nesse ponto. Em termos mais simples, isso quer dizer que, perto desse ponto, a função se comporta quase como uma função linear.
Passo 4
Existe um teorema importante no cálculo que diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. A continuidade das derivadas garante que não há “quedas” ou “saltos” bruscos na função, permitindo essa aproximação linear precisa.
Passo 5
Então, aplicando esse teorema à nossa questão: se
e
são contínuas, de acordo com o teorema,
é diferenciável.
Resposta
Verdadeiro.
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