Falso ou verdadeiro? Justifique.
(e) Se uma função tem derivadas parciais e contínuas, então é diferenciável.

Passo 1

Vamos lá! A questão está perguntando se uma função de duas variáveis, , que tem as derivadas parciais e contínuas, é necessariamente diferenciável. Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, o que são derivadas parciais? As derivadas parciais e mostram como a função muda quando a gente varre cada uma das variáveis individualmente, ou seja, como varia com mantendo constante e vice-versa.

Passo 3

Agora, o que significa uma função ser diferenciável? Uma função é diferenciável em um ponto se ela pode ser aproximada de forma muito boa por um plano linear nesse ponto. Em termos mais simples, isso quer dizer que, perto desse ponto, a função se comporta quase como uma função linear.

Passo 4

Existe um teorema importante no cálculo que diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. A continuidade das derivadas garante que não há “quedas” ou “saltos” bruscos na função, permitindo essa aproximação linear precisa.

Passo 5

Então, aplicando esse teorema à nossa questão: se e são contínuas, de acordo com o teorema, é diferenciável.

Resposta

Verdadeiro.

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