Use TFC 1 para encontrar a derivada das funções F(x)=integralraizx^2 x arctan t d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a derivada da função usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) Parte 1. Basicamente, a gente vai precisar entender como derivar uma integral que tem limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1. Esse teorema nos ajuda a relacionar derivadas e integrais. Se temos uma função definida por uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites e multiplicando pela derivada dos limites.

Passo 3

No nosso caso, F'(x) = arctan(2x) cdot ddx(2x) - arctan(raizx) cdot ddx(raizx) . Para encontrar , vamos aplicar a regra que diz:
Isso significa que a derivada de é a função avaliada nos limites superior e inferior, cada uma multiplicada pela derivada do respectivo limite.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dos limites:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão de F'(x) = arctan(2x) cdot 2 - arctan(raizx) cdot 12raizx :

Passo 6

Podemos simplificar um pouco a expressão:
F'(x) = 2,arctan(2x) - arctan(raizx)2raizx

Resposta

A derivada da função é:
F'(x) = 2,arctan(2x) - arctan(raizx)2raizx

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