Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), definida pela recorrência un+1=un+un-1, onde u1=u2=1.
(a) Determine os dez primeiros termos dest a sequência.
(b) Os termos da nova sequência xn=un+1un dão uma aproximação para o igualmente famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por tau. Determine uma aproximação dos cinco primeiros termos dessa nova sequência.
© Supondo que tau=lim n infty xn, mostre que tau=12(1+raiz5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Sequência de Fibonacci, que é uma sequência numérica onde cada termo é a soma dos dois anteriores. A matéria que vamos usar aqui envolve sequências recorrentes e limites para chegar ao número de ouro, também conhecido como razão áurea. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular os termos da sequência de Fibonacci, formar uma nova sequência com a razão entre termos consecutivos e, finalmente, encontrar o limite dessa nova sequência.

Passo 2

Vamos começar pela parte (a): determinar os dez primeiros termos da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci começa com u₁ = 1 e u₂ = 1. A regra para encontrar o próximo termo é somar os dois anteriores. Vamos calcular passo a passo:
  1. u₁ = 1 (dado)
  2. u₂ = 1 (dado)
  3. u₃ = u₂ + u₁ = 1 + 1 = 2
  4. u₄ = u₃ + u₂ = 2 + 1 = 3
  5. u₅ = u₄ + u₃ = 3 + 2 = 5
  6. u₆ = u₅ + u₄ = 5 + 3 = 8
  7. u₇ = u₆ + u₅ = 8 + 5 = 13
  8. u₈ = u₇ + u₆ = 13 + 8 = 21
  9. u₉ = u₈ + u₇ = 21 + 13 = 34
  10. u₁₀ = u₉ + u₈ = 34 + 21 = 55

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): encontrar os cinco primeiros termos da nova sequência xₙ = \frac{u_{n+1}}{u_n}.
Essa sequência xₙ é formada pela razão entre um termo da sequência de Fibonacci e o termo anterior. Vamos calcular:
  1. x₁ = \frac{u₂}{u₁} = \frac{1}{1} = 1
  2. x₂ = \frac{u₃}{u₂} = \frac{2}{1} = 2
  3. x₃ = \frac{u₄}{u₃} = \frac{3}{2} = 1,5
  4. x₄ = \frac{u₅}{u₄} = \frac{5}{3} \approx 1,666…
  5. x₅ = \frac{u₆}{u₅} = \frac{8}{5} = 1,6

Passo 4

Vamos para a parte ©: mostrar que o limite da sequência xₙ é igual a tau = limn to infty xₙ = limn to infty un+1un .
Para isso, consideramos que, quando tau = limn to infty un + un-1un = limn to infty (1 + un-1un) tende ao infinito, tau = 1 + 1tau tende a um valor constante tau^2 = tau + 1 . Portanto, podemos escrever:
tau^2 - tau - 1 = 0
Como a sequência de Fibonacci é definida por tau = 1 pm raiz1 + 42 = 1 pm raiz52 , podemos substituir na expressão de tau = 1 + raiz52 :
Observando que , quando tende ao infinito, também tende a . Assim, temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Reorganizando:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Como é um número positivo, descartamos a solução negativa:

Resposta

(a) Os dez primeiros termos da sequência de Fibonacci são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
(b) Os cinco primeiros termos da sequência são: 1, 2, 1,5, aproximadamente 1,666 e 1,6.
© O número de ouro é .

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