Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), definida pela recorrência
, onde
.
(a) Determine os dez primeiros termos dest a sequência.
(b) Os termos da nova sequência
dão uma aproximação para o igualmente famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por
. Determine uma aproximação dos cinco primeiros termos dessa nova sequência.
© Supondo que
, mostre que
.
(a) Determine os dez primeiros termos dest a sequência.
(b) Os termos da nova sequência
© Supondo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a Sequência de Fibonacci, que é uma sequência numérica onde cada termo é a soma dos dois anteriores. A matéria que vamos usar aqui envolve sequências recorrentes e limites para chegar ao número de ouro, também conhecido como razão áurea. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar calcular os termos da sequência de Fibonacci, formar uma nova sequência com a razão entre termos consecutivos e, finalmente, encontrar o limite dessa nova sequência.
Passo 2
Vamos começar pela parte (a): determinar os dez primeiros termos da sequência de Fibonacci.
A sequência de Fibonacci começa com u₁ = 1 e u₂ = 1. A regra para encontrar o próximo termo é somar os dois anteriores. Vamos calcular passo a passo:
- u₁ = 1 (dado)
- u₂ = 1 (dado)
- u₃ = u₂ + u₁ = 1 + 1 = 2
- u₄ = u₃ + u₂ = 2 + 1 = 3
- u₅ = u₄ + u₃ = 3 + 2 = 5
- u₆ = u₅ + u₄ = 5 + 3 = 8
- u₇ = u₆ + u₅ = 8 + 5 = 13
- u₈ = u₇ + u₆ = 13 + 8 = 21
- u₉ = u₈ + u₇ = 21 + 13 = 34
- u₁₀ = u₉ + u₈ = 34 + 21 = 55
Passo 3
Agora vamos para a parte (b): encontrar os cinco primeiros termos da nova sequência xₙ = \frac{u_{n+1}}{u_n}.
Essa sequência xₙ é formada pela razão entre um termo da sequência de Fibonacci e o termo anterior. Vamos calcular:
- x₁ = \frac{u₂}{u₁} = \frac{1}{1} = 1
- x₂ = \frac{u₃}{u₂} = \frac{2}{1} = 2
- x₃ = \frac{u₄}{u₃} = \frac{3}{2} = 1,5
- x₄ = \frac{u₅}{u₄} = \frac{5}{3} \approx 1,666…
- x₅ = \frac{u₆}{u₅} = \frac{8}{5} = 1,6
Passo 4
Vamos para a parte ©: mostrar que o limite da sequência xₙ é igual a
.
Para isso, consideramos que, quando
tende ao infinito,
tende a um valor constante
. Portanto, podemos escrever:
Como a sequência de Fibonacci é definida por
, podemos substituir na expressão de
:
Observando que
, quando
tende ao infinito,
também tende a
. Assim, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Reorganizando:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Como
é um número positivo, descartamos a solução negativa:
Resposta
(a) Os dez primeiros termos da sequência de Fibonacci são: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
(b) Os cinco primeiros termos da sequência
são: 1, 2, 1,5, aproximadamente 1,666 e 1,6.
© O número de ouro é
.