(a)
Passo 1
Então, a gente tem a função
definida para todos os pontos no plano
. A matéria aqui é cálculo de funções de várias variáveis, e pra resolver vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar os pontos críticos e analisar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, a gente iguala as derivadas parciais a zero:
Resolvendo a primeira equação
:
-
ou
Resolvendo a segunda equação
:
-
ou
Então, os pontos críticos ocorrem quando
ou
.
Passo 5
Vamos analisar cada caso:
-
Quando
: A função ficapara qualquer . Isso sugere que toda a linha pode ser um ponto crítico. -
Quando
: A função novamente ficapara qualquer . Então, toda a linha também é composta por pontos críticos.
Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, podemos observar o comportamento da função:
-
Se
ou forem diferentes de zero, será sempre não negativo, já que e são potências pares. -
No entanto, na linha
ou , , que é o menor valor possível para .
Resposta
Os pontos críticos da função
ocorrem ao longo das linhas
e
. Em todos esses pontos, a função atinge o valor mínimo
.
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Use TFC 1 para encontrar a derivada das funções
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