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Passo 1

Então, a gente tem a função definida para todos os pontos no plano . A matéria aqui é cálculo de funções de várias variáveis, e pra resolver vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , encontrar os pontos críticos e analisar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, a gente iguala as derivadas parciais a zero:
Resolvendo a primeira equação :
  • ou
Resolvendo a segunda equação :
  • ou
Então, os pontos críticos ocorrem quando ou .

Passo 5

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
    A função fica para qualquer . Isso sugere que toda a linha pode ser um ponto crítico.
  2. Quando :
    A função novamente fica para qualquer . Então, toda a linha também é composta por pontos críticos.
Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, podemos observar o comportamento da função:
  • Se ou forem diferentes de zero, será sempre não negativo, já que e são potências pares.
  • No entanto, na linha ou , , que é o menor valor possível para .

Resposta

Os pontos críticos da função ocorrem ao longo das linhas e . Em todos esses pontos, a função atinge o valor mínimo .

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