Uma linha sem distorção, que opera em 120 MHz, tem
e
. Que distância se propagará uma onda de tensão antes que sua amplitude caia para
do valor inicial?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma linha de transmissão que opera a 120 MHz e apresenta resistência $ R = 20 , \Omega/m $, indutância $ L = 0,3 , \muH/m $ e capacitância $ C = 63 , pF/m $. O desafio é descobrir qual é a distância que uma onda de tensão percorre antes que sua amplitude caia para 20% do valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre como as ondas se atenuam em linhas de transmissão e usar algumas fórmulas básicas de eletrônica.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a frequência angular ($ \omega
f $) pela fórmula:
Aqui, $ f = 120 , MHz = 120 \times 10^6 , Hz $. Vamos substituir na fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a constante de atenuação ($ \alpha $) da linha. Essa constante nos diz como a amplitude da onda diminui conforme ela percorre a linha. Para uma linha de transmissão com resistência $ R $ e capacitância $ C $, a constante de atenuação é dada por:
Vamos substituir os valores que temos:
Primeiro, fazemos a divisão dentro da raiz:
Agora, calculamos a raiz quadrada:
Multiplicando pela metade de R:
Passo 4
Sabemos que a amplitude da onda diminui exponencialmente com a distância percorrida, de acordo com a fórmula:
Onde:
- $ V(x) $ é a amplitude da tensão na distância $ x $,
- $ V_0 $ é a amplitude inicial,
- $ \alpha $ é a constante de atenuação,
- $ x $ é a distância percorrida.
Queremos que $ V(x) = 0,2 V_0 $. Vamos substituir na equação:
Podemos cancelar $ V_0 $ dos dois lados:
Passo 5
Para resolver essa equação para $ x $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Isolando $ x $:
Sabemos que $ \ln(0,2) \approx -1,6094 $. Então:
Resposta
A onda de tensão se propagará aproximadamente 11,11 metros antes que sua amplitude caia para 20 % do valor inicial.
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