O fato de ser convergente implica que as séries a seguir
são convergentes?
(a)
(b)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série que é convergente. A questão quer saber se, a partir dessa informação, podemos concluir que as séries e também são convergentes. Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de séries de potências e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências da forma possui um raio de convergência , que determina para quais valores de a série converge. Se conhecemos que a série converge para um certo valor de , podemos usar essa informação para encontrar .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que a série converge para . Isso significa que está dentro do raio de convergência . Portanto, temos que . Porém, essa conclusão está errada. Na verdade, se a série converge para , isso significa que o raio de convergência é pelo menos , ou seja, .

Passo 4

Com o raio de convergência , podemos verificar se os valores e estão dentro desse raio. Para isso, calculamos o valor absoluto desses :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, comparamos esses valores com o raio de convergência:
  • Para : Como , está dentro do raio de convergência.
  • Para : Como , está no limite do raio de convergência.

Passo 6

Concluímos que a série converge, pois está dentro do raio de convergência. No caso de , como está no limite do raio de convergência, a série também converge.

Resposta

Ambas as séries e são convergentes.

Exercícios relacionados

3.2 Resolução de EDOs via Transformada de Laplace

1
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
R.: com
R.:
Considere os vetores e . Determine o que se pede.
(a) .
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,
R.:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) , com
(k)
(1)