O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir
são convergentes?
(a)
(b)
são convergentes?
(a)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série
que é convergente. A questão quer saber se, a partir dessa informação, podemos concluir que as séries
e
também são convergentes. Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de séries de potências e o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências da forma
possui um raio de convergência
, que determina para quais valores de
a série converge. Se conhecemos que a série converge para um certo valor de
, podemos usar essa informação para encontrar
.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que a série converge para
. Isso significa que
está dentro do raio de convergência
. Portanto, temos que
. Porém, essa conclusão está errada. Na verdade, se a série converge para
, isso significa que o raio de convergência é pelo menos
, ou seja,
.
Passo 4
Com o raio de convergência
, podemos verificar se os valores
e
estão dentro desse raio. Para isso, calculamos o valor absoluto desses
:
- Para
: - Para
:
Passo 5
Agora, comparamos esses valores com o raio de convergência:
- Para
: Como , está dentro do raio de convergência. - Para
: Como , está no limite do raio de convergência.
Passo 6
Concluímos que a série
converge, pois
está dentro do raio de convergência. No caso de
, como
está no limite do raio de convergência, a série também converge.
Resposta
Ambas as séries
e
são convergentes.
Exercícios relacionados
3.2 Resolução de EDOs via Transformada de Laplace
1
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
R.: com
R.:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
R.:
R.:
Considere os vetores
e
. Determine o que se pede.
(a) .
(a)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,
R.:
(f)
R.:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) , com
(k)
(1)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)