O fato de sumn=0^infty cn 4^n ser convergente implica que as séries a seguir
são convergentes?
(a) sumn=0^infty cn(-2)^n
(b) sumn=0^infty cn(-4)^n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma série sumn=0^infty cn 4^n que é convergente. A questão quer saber se, a partir dessa informação, podemos concluir que as séries sumn=0^infty cn(-2)^n e sumn=0^infty cn(-4)^n também são convergentes. Para responder isso, vamos precisar entender conceitos de séries de potências e o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências da forma sumn=0^infty cn x^n possui um raio de convergência R, que determina para quais valores de x a série converge. Se conhecemos que a série converge para um certo valor de x, podemos usar essa informação para encontrar R.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que a série converge para x = 4. Isso significa que 4 está dentro do raio de convergência R. Portanto, temos que |4| < R. Porém, essa conclusão está errada. Na verdade, se a série converge para x = 4, isso significa que o raio de convergência é pelo menos 4, ou seja, R >= 4.

Passo 4

Com o raio de convergência R >= 4, podemos verificar se os valores x = -2 e x = -4 estão dentro desse raio. Para isso, calculamos o valor absoluto desses x:
  • Para x = -2: |-2| = 2
  • Para x = -4: |-4| = 4

Passo 5

Agora, comparamos esses valores com o raio de convergência:
  • Para x = -2: Como 2 < 4, x = -2 está dentro do raio de convergência.
  • Para x = -4: Como 4 <= 4, x = -4 está no limite do raio de convergência.

Passo 6

Concluímos que a série sumn=0^infty cn(-2)^n converge, pois -2 está dentro do raio de convergência. No caso de sumn=0^infty cn(-4)^n, como -4 está no limite do raio de convergência, a série também converge.

Resposta

Ambas as séries sumn=0^infty cn(-2)^n e sumn=0^infty cn(-4)^n são convergentes.

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