Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f)
,
R.:
(f)
R.:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
usando a Transformada de Laplace. Aqui, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como aplicá-la em derivadas e funções como polinômios e exponenciais multiplicados por funções trigonométricas.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando na equação:
Passo 3
Simplificamos a equação resultante:
Agrupando os termos com
:
Passo 4
Isolamos
:
Simplificamos os denominadores e prepararmos para a inversa da Transformada de Laplace.
Passo 5
Realizamos a decomposição em frações parciais para cada termo de
e aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada parte. Isso envolve identificar os polos e aplicar as tabelas de transformadas para funções exponenciais e polinomiais.
Passo 6
Após calcular as transformadas inversas, somamos todas as partes obtidas para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Resposta
Exercícios relacionados
O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir
são convergentes?
(a)
(b)
são convergentes?
(a)
(b)
3.2 Resolução de EDOs via Transformada de Laplace
1
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
R.: com
R.:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
R.:
R.:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) , com
(k)
(1)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(1)
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo
, enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(a)
(b)
©
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(a)
(b)
©