Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) y'' - 3y' + 2y = 4t + 12e^(-t) cos(t), y(0) = 6, y'(0) = -1
R.: y(t) = -2 e^(2t) + 3 e^(t) + 2t + 3 + 2 e^(-t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e usando a Transformada de Laplace. Aqui, vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como aplicá-la em derivadas e funções como polinômios e exponenciais multiplicados por funções trigonométricas.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando na equação:

Passo 3

Simplificamos a equação resultante:
Agrupando os termos com :

Passo 4

Isolamos :
Simplificamos os denominadores e prepararmos para a inversa da Transformada de Laplace.

Passo 5

Realizamos a decomposição em frações parciais para cada termo de e aplicamos a Transformada de Laplace inversa a cada parte. Isso envolve identificar os polos e aplicar as tabelas de transformadas para funções exponenciais e polinomiais.

Passo 6

Após calcular as transformadas inversas, somamos todas as partes obtidas para encontrar a solução geral da equação diferencial.

Resposta

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