3.2 Resolução de EDOs via Transformada de Laplace

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Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y' + 4y = e^(4t), y(0) = 0
R.: y(t) = h(t) - e * U(t-1) * h(t-1) com
R.: y(t) = (t + 2) / (e^(4 t)) h(t) = e^t/5 - e^(-t)/5 cos(t) - 2 e^(-t)/5 sin(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a Transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem utilizando técnicas de transformada, que nos ajudam a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de é e a de é simplesmente . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Substituindo as transformadas, ficamos com:
Como , a equação simplifica para:

Passo 4

Fatorando , temos:
Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos e . Portanto:
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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