3.2 Resolução de EDOs via Transformada de Laplace

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Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
R.: com
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a Transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem utilizando técnicas de transformada, que nos ajudam a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A Transformada de Laplace de é e a de é simplesmente . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Substituindo as transformadas, ficamos com:
Como , a equação simplifica para:

Passo 4

Fatorando , temos:
Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrar , precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de . Vamos decompor em frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos e . Portanto:
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere os vetores e . Determine o que se pede.
(a) .
Apenas conhecendo o valor de , como saber se o ângulo entre e é:
© Obtuso?
O fato de ser convergente implica que as séries a seguir
são convergentes?
(a)
(b)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(f) ,
R.: