A função J1(x)=sumn=0^N (-1)^n cdot x^2 n+1n!(n+1)!2^2 n+1 é denominada função de Bessel de ordem 1.
(a) Encontre seu dominio.
(b) Trace as primeiras somas parciais na mesma tela.
© Se seu SCA tiver funçōes de Bessel programadas, trace J1 na mesma tela das somas parciais na parte (b) e observe como as somas parciais aproximam J1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver um exercício sobre a Função de Bessel de ordem 1, que é dada pela soma:
J1(x) = sumn=0^N (-1)^n cdot x^2n+1n!(n+1)!2^2n+1
Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar entender sobre domínios de funções, somas parciais de séries e, para a parte ©, funções programadas no SCA (Sistema de Cálculo Algébrico).

Passo 2

Parte (a): Encontrar o domínio de

Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
A função é uma série infinita de termos envolvendo potências de . Para que a série converja, precisamos analisar os termos.
A série da função de Bessel de ordem 1 é convergente para todo número real. Isso significa que não há restrições para ; ele pode ser qualquer número real.
Portanto, o domínio de é todos os números reais, ou seja, .

Passo 3

Parte (b): Traçar as primeiras somas parciais na mesma tela

As somas parciais são as séries parciais da função de Bessel, ou seja, cortamos a série quando S0(x) = (-1)^0 cdot x^10!(1)!2^1 = x2 atinge um valor específico. Vamos ver as primeiras três somas parciais:
  1. Primeira soma parcial ( S1(x) = S0(x) + (-1)^1 cdot x^31!(2)!2^3 = x2 - x^316 ):
S2(x) = S1(x) + (-1)^2 cdot x^52!(3)!2^5 = x2 - x^316 + x^5384
  1. Segunda soma parcial ( ):
  1. Terceira soma parcial ( ):
Essas expressões representam as primeiras somas parciais da série de . Para traçá-las, você pode plotar cada uma delas no mesmo gráfico para visualizar como elas se aproximam da função completa conforme adicionamos mais termos.

Passo 4

Parte ©: Comparar as somas parciais com a função

Se o seu Sistema de Cálculo Algébrico (SCA) tiver funções de Bessel programadas, você pode traçar a função junto com as somas parciais que calculamos na parte (b).
Passos para fazer isso:
  1. Plotar as somas parciais: Utilize as expressões de , e para plotar no gráfico.
  2. Plotar : Use a função programada no SCA para traçar no mesmo gráfico.
  3. Observar a aproximação: Veja como as somas parciais se aproximam de conforme adicionamos mais termos. Quanto mais termos você adicionar, melhor será a aproximação.
Isso ajuda a visualizar como a série converge para a função de Bessel conforme incluímos mais termos na soma.

Resposta

(a) O domínio de é todos os números reais, ou seja, .

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