Fatore as matrizes abaixo como A=X Lambda X^-1, onde X é não-singular e Lambda é diagonal.
© A=[rrr2 & 2 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & -1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz na forma , onde é uma matriz não-singular e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Basicamente, vamos usar a teoria de matrizes e autovalores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 2 - lambda & 2 & 1 0 & 1 - lambda & 2 0 & 0 & -1 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot (1 - lambda) cdot (-1 - lambda)
Isso porque a matriz é triangular, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(2 - lambda)(1 - lambda)(-1 - lambda) = 0
Então, as soluções são:
lambda1 = 2, lambda2 = 1, lambda3 = -1

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada 0 & 2 & 1 0 & -1 & 2 0 & 0 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Para 1 0 0 :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos e . O vetor livre é . Então, um autovetor é .

Passo 7

Para 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos -2 1 0 :
Da terceira equação, . Da segunda equação, já satisfeito. Da primeira equação, . Então, tomando , temos .

Passo 8

Para 3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 3v1 - 2v3 + v3 = 0 Rightarrow 3v1 - v3 = 0 Rightarrow v3 = 3v1 :
1 -3 3
Da segunda equação, . Da primeira equação, , substituindo :
Então, tomando , temos e . Assim, .

Passo 9

Agora, montamos a matriz X = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3 0 & 0 & 3 , Lambda = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 com os autovetores como colunas e a matriz com os autovalores na diagonal:

Resposta

A fatoração da matriz A = X Lambda X^-1, onde X = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3 0 & 0 & 3 e Lambda = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 é:

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