Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz na forma , onde é uma matriz não-singular e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Basicamente, vamos usar a teoria de matrizes e autovalores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Isso porque a matriz é triangular, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, as soluções são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos e → . O vetor livre é . Então, um autovetor é .
Passo 7
Para :
Resolvemos :
Da terceira equação, → . Da segunda equação, já satisfeito. Da primeira equação, → . Então, tomando , temos .
Passo 8
Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, → . Da primeira equação, , substituindo :
Então, tomando , temos e . Assim, .
Passo 9
Agora, montamos a matriz com os autovetores como colunas e a matriz com os autovalores na diagonal: