Fatore as matrizes abaixo como
, onde
é não-singular e
é diagonal.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz
na forma
, onde
é uma matriz não-singular e
é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de
. Basicamente, vamos usar a teoria de matrizes e autovalores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Autovalores são valores de
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz
A - lambda I = 2 - lambda & 2 & 1 0 & 1 - lambda & 2 0 & 0 & -1 - lambda :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Isso porque a matriz é triangular, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 5
Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, as soluções são:
Passo 6
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
0 & 2 & 1 0 & -1 & 2 0 & 0 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Para
1 0 0 :
Resolvemos
:
Simplificando, obtemos
e
→
. O vetor livre é
. Então, um autovetor é
.
Passo 7
Para
1 & 2 & 1 0 & 0 & 2 0 & 0 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos
-2 1 0 :
Da terceira equação,
→
. Da segunda equação,
já satisfeito. Da primeira equação,
→
. Então, tomando
, temos
.
Passo 8
Para
3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos
3v1 - 2v3 + v3 = 0 Rightarrow 3v1 - v3 = 0 Rightarrow v3 = 3v1 :
Da segunda equação,
→
. Da primeira equação,
, substituindo
:
Então, tomando
, temos
e
. Assim,
.
Passo 9
Agora, montamos a matriz
X = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3 0 & 0 & 3 , Lambda = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 com os autovetores como colunas e a matriz
com os autovalores na diagonal:
Resposta
A fatoração da matriz
A = X Lambda X^-1, onde X = 1 & -2 & 1 0 & 1 & -3 0 & 0 & 3 e Lambda = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 é: