Fatore as matrizes abaixo como , onde é não-singular e é diagonal.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para fatorar a matriz na forma , onde é uma matriz não-singular e é uma matriz diagonal. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de . Basicamente, vamos usar a teoria de matrizes e autovalores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Isso porque a matriz é triangular, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 5

Igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, as soluções são:

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Simplificando, obtemos e . O vetor livre é . Então, um autovetor é .

Passo 7

Para :
Resolvemos :
Da terceira equação, . Da segunda equação, já satisfeito. Da primeira equação, . Então, tomando , temos .

Passo 8

Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, . Da primeira equação, , substituindo :
Então, tomando , temos e . Assim, .

Passo 9

Agora, montamos a matriz com os autovetores como colunas e a matriz com os autovalores na diagonal:

Resposta

A fatoração da matriz é:

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(a)
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(d)