Fatore o polinômio dado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que fatorar o polinômio . Isso faz parte da matéria de Álgebra, mais especificamente no tópico de fatoração de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema das Raízes Racionais e a divisão de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar encontrar possíveis raízes racionais do polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que as possíveis raízes racionais são os divisores do termo constante dividido pelos divisores do coeficiente líder. No nosso caso, o termo constante é -2 e o coeficiente líder é 1. Então, as possíveis raízes são: .

Passo 3

Vamos testar essas raízes no polinômio para ver se alguma delas é realmente uma raiz.
Para :
Para :
Para :
Para :
Nenhuma das raízes racionais funcionou. Então, vamos tentar fatorar o polinômio em dois polinômios de segundo grau.

Passo 4

Vamos supor que o polinômio se fatora da seguinte forma:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Agora, igualamos os coeficientes com o polinômio original:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, olhamos para a última equação: . As possíveis combinações inteiras para e são:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
Vamos testar cada uma dessas combinações.

Passo 6

Vamos tentar e :
Da primeira equação, . Substituindo na terceira equação:
Então, . Verificando a segunda equação:
Não funciona. Vamos tentar outra combinação.

Passo 7

Agora, e :
Da primeira equação, . Substituindo na terceira equação:
Então, . Verificando a segunda equação:
Também não funciona. Vamos para a próxima.

Passo 8

Vamos testar e :
Da primeira equação, . Substituindo na terceira equação:
Então, . Verificando a segunda equação:
Não funciona. Última combinação.

Passo 9

Finalmente, e :
Da primeira equação, . Substituindo na terceira equação:
Então, . Verificando a segunda equação:
Não funciona.

Passo 10

Nenhuma das combinações inteiras funcionou, o que significa que o polinômio não pode ser fatorado com coeficientes inteiros. Mas isso não quer dizer que ele não pode ser fatorado! Podemos fatorar usando polinômios de segundo grau com coeficientes racionais ou irracionais.
Uma fatoração possível é:

Resposta

A fatoração do polinômio é .

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Calcule , sendo : .
Suponha que seja um polinômio de grau , com coeficientes inteiros, isto é, são números inteiros. Seja um número inteiro. Prove que se for uma raiz de , então será um divisor do termo independente .