Resolver as inequações modulares abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto: . Então, estamos lidando com inequações modulares, que envolvem expressões com valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dividindo a inequação em diferentes casos, dependendo do sinal da expressão dentro do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa o valor absoluto de , que é sempre não negativo. Isso significa que pode ser positivo ou zero, dependendo de . Para resolver a inequação, precisamos considerar os dois casos possíveis:
  1. Quando (ou seja, é positivo ou zero).
  2. Quando (ou seja, é negativo).
Vamos resolver a inequação em cada um desses casos e depois combinar as soluções.

Passo 3

Caso 1:
Se é maior ou igual a zero, então . Substituindo na inequação:
Simplificando:
Agora, resolvendo para :
Mas lembrando que neste caso assumimos que , ou seja:
Então, para este caso, a solução é o intervalo onde está entre e :

Passo 4

Caso 2:
Se é menor que zero, então . Substituindo na inequação:
Simplificando:
Resolvendo para :
Lembrando que neste caso assumimos que , ou seja:
Então, para este caso, a solução é o intervalo onde é maior ou igual a e menor que :

Passo 5

Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos:
  • Caso 1:
  • Caso 2:
Juntando ambos os intervalos, temos que a solução completa é:

Resposta

A solução da inequação é todo no intervalo .

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Resolver as inequações modulares abaixo:
Fatore o polinômio dado:
Calcule , sendo : .