Resolver as inequações modulares abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto:
. Então, estamos lidando com inequações modulares, que envolvem expressões com valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto dividindo a inequação em diferentes casos, dependendo do sinal da expressão dentro do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o valor absoluto de
, que é sempre não negativo. Isso significa que
pode ser positivo ou zero, dependendo de
. Para resolver a inequação, precisamos considerar os dois casos possíveis:
- Quando
(ou seja, é positivo ou zero). - Quando
(ou seja, é negativo).
Vamos resolver a inequação em cada um desses casos e depois combinar as soluções.
Passo 3
Caso 1:
Se
é maior ou igual a zero, então
. Substituindo na inequação:
Simplificando:
Agora, resolvendo para
:
Mas lembrando que neste caso assumimos que
, ou seja:
Então, para este caso, a solução é o intervalo onde
está entre
e
:
Passo 4
Caso 2:
Se
é menor que zero, então
. Substituindo na inequação:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Lembrando que neste caso assumimos que
, ou seja:
Então, para este caso, a solução é o intervalo onde
é maior ou igual a
e menor que
:
Passo 5
Agora, vamos juntar as soluções dos dois casos:
- Caso 1:
- Caso 2:
Juntando ambos os intervalos, temos que a solução completa é:
Resposta
A solução da inequação
é todo
no intervalo
.
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Resolver as inequações modulares abaixo:
Fatore o polinômio dado:
Calcule
, sendo :
.