Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 1,2 e 5 são raízes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio
e sabemos que 1, 2 e 5 são raízes desse polinômio. Nosso objetivo aqui é fatorar esse polinômio, ou seja, escrevê-lo como o produto de fatores menores. Para isso, vamos precisar usar a Teoria das Raízes e métodos de divisão de polinômios, como a divisão sintética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Teoria das Raízes, que nos diz que se
é uma raiz de um polinômio, então
é um fator desse polinômio. Sabemos que 1, 2 e 5 são raízes, então já temos três fatores:
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o polinômio original por um desses fatores para simplificar. Vamos começar dividindo por
usando divisão sintética:
1 | 1 -3 -13 -5 120 -100
1 -2 -15 -20 100
1 -2 -15 -20 100 0
1 -2 -15 -20 100
1 -2 -15 -20 100 0
O resto é 0, o que confirma que
é um fator. O quociente da divisão é
.
Passo 4
Agora, vamos dividir o quociente obtido por
:
2 | 1 -2 -15 -20 100
2 0 -30 -100
1 0 -15 -50 0
2 0 -30 -100
1 0 -15 -50 0
O resto também é 0, confirmando que
é outro fator. O novo quociente é
.
Passo 5
Seguimos dividindo o quociente por
:
5 | 1 0 -15 -50
5 25 50
1 5 10 0
5 25 50
1 5 10 0
Mais uma vez, o resto é 0, então
é mais um fator. O quociente agora é
.
Passo 6
Agora, ficamos com um polinômio quadrático:
. Vamos tentar fatorar esse polinômio. Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde
,
e
:
Como as raízes são complexas, não conseguimos fatorar mais esse polinômio com números reais. Então, o polinômio
permanece assim.
Resposta
O polinômio fatorado é: