Fatore os polinômios abaixo: x^5 - 3x^4 - 13x^3 - 5x^2 + 120x - 100, sabendo que 1,2 e 5 são raízes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio e sabemos que 1, 2 e 5 são raízes desse polinômio. Nosso objetivo aqui é fatorar esse polinômio, ou seja, escrevê-lo como o produto de fatores menores. Para isso, vamos precisar usar a Teoria das Raízes e métodos de divisão de polinômios, como a divisão sintética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Teoria das Raízes, que nos diz que se é uma raiz de um polinômio, então é um fator desse polinômio. Sabemos que 1, 2 e 5 são raízes, então já temos três fatores: , e .

Passo 3

Agora, vamos dividir o polinômio original por um desses fatores para simplificar. Vamos começar dividindo por usando divisão sintética:
1 | 1 -3 -13 -5 120 -100
   1 -2 -15 -20 100
  1 -2 -15 -20 100 0
O resto é 0, o que confirma que é um fator. O quociente da divisão é .

Passo 4

Agora, vamos dividir o quociente obtido por :
2 | 1 -2 -15 -20 100
   2 0 -30 -100
  1 0 -15 -50 0
O resto também é 0, confirmando que é outro fator. O novo quociente é .

Passo 5

Seguimos dividindo o quociente por :
5 | 1 0 -15 -50
   5 25 50
  1 5 10 0
Mais uma vez, o resto é 0, então é mais um fator. O quociente agora é .

Passo 6

Agora, ficamos com um polinômio quadrático: . Vamos tentar fatorar esse polinômio. Usamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Onde , e :
Como as raízes são complexas, não conseguimos fatorar mais esse polinômio com números reais. Então, o polinômio permanece assim.

Resposta

O polinômio fatorado é:

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