Fatore os polinômios abaixo: , sabendo que 1 é raiz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio e sabemos que é uma raiz dele. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio, ou seja, quebrá-lo em fatores menores que, quando multiplicados, dão o polinômio original. Para isso, vamos precisar usar a divisão de polinômios e entender como encontrar as raízes de um polinômio.

Passo 2

Primeiro, como sabemos que é uma raiz, isso significa que é um fator do polinômio. Então, vamos dividir o polinômio original por para encontrar o outro fator.

Passo 3

Vamos fazer a divisão. Para dividir por , podemos usar a divisão sintética, que é mais rápida.
  1. Colocamos o número da raiz, que é 1, na caixa de divisão.
  2. Escrevemos os coeficientes do polinômio: 1 (de ), 12 (de ), 17 (de ) e -30 (termo constante).
  3. Baixamos o primeiro coeficiente (1).
  4. Multiplicamos esse 1 pela raiz (1) e colocamos o resultado abaixo do segundo coeficiente.
  5. Somamos os valores na segunda coluna: .
  6. Repetimos o processo: multiplicamos 13 por 1, somamos com o próximo coeficiente, e assim por diante.
A divisão fica assim:
O resultado nos dá o polinômio .

Passo 4

Agora, temos que fatorar o polinômio quadrático . Para isso, vamos procurar dois números que multiplicados dão 30 e somados dão 13. Esses números são 3 e 10, porque e .
Então, podemos escrever:

Passo 5

Agora, juntando tudo, lembramos que já tínhamos o fator . Portanto, a fatoração completa do polinômio original é:

Resposta

A fatoração do polinômio é:

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