Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 1 é raiz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o polinômio
e sabemos que
é uma raiz dele. Nosso objetivo é fatorar esse polinômio, ou seja, quebrá-lo em fatores menores que, quando multiplicados, dão o polinômio original. Para isso, vamos precisar usar a divisão de polinômios e entender como encontrar as raízes de um polinômio.
Passo 2
Primeiro, como sabemos que
é uma raiz, isso significa que
é um fator do polinômio. Então, vamos dividir o polinômio original por
para encontrar o outro fator.
Passo 3
Vamos fazer a divisão. Para dividir
por
, podemos usar a divisão sintética, que é mais rápida.
- Colocamos o número da raiz, que é 1, na caixa de divisão.
- Escrevemos os coeficientes do polinômio: 1 (de
), 12 (de ), 17 (de ) e -30 (termo constante). - Baixamos o primeiro coeficiente (1).
- Multiplicamos esse 1 pela raiz (1) e colocamos o resultado abaixo do segundo coeficiente.
- Somamos os valores na segunda coluna:
. - Repetimos o processo: multiplicamos 13 por 1, somamos com o próximo coeficiente, e assim por diante.
A divisão fica assim:
O resultado nos dá o polinômio
.
Passo 4
Agora, temos que fatorar o polinômio quadrático
. Para isso, vamos procurar dois números que multiplicados dão 30 e somados dão 13. Esses números são 3 e 10, porque
e
.
Então, podemos escrever:
Passo 5
Agora, juntando tudo, lembramos que já tínhamos o fator
. Portanto, a fatoração completa do polinômio original é:
Resposta
A fatoração do polinômio
é:
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Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 3 é raiz.
Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que -1 é raiz.
Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 2 e 6 são raízes.
Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 7 é raiz.