Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 7 é raiz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fatorar o polinômio
, sabendo que 7 é uma das raízes. Nosso objetivo aqui é encontrar todos os fatores desse polinômio. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Fator, que nos ajuda a determinar os fatores de um polinômio quando conhecemos suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Teorema do Fator. Esse teorema diz que se
é uma raiz de um polinômio
, então
é um fator de
. Como sabemos que 7 é raiz, temos que
é um fator de
.
Passo 3
Agora, vamos dividir o polinômio original por
para encontrar o outro fator. Para fazer isso, podemos usar a Divisão Sintética ou a Divisão Longa de Polinômios. Vou optar pela divisão longa para facilitar a visualização.
Dividindo
por
:
- Dividimos o termo de maior grau:
. - Multiplicamos
por e subtraímos do polinômio original. - Repetimos esse processo até obter o resto.
Após a divisão, encontramos que:
Passo 4
Agora, simplificamos o resultado da divisão. Podemos fatorar mais um pouco o polinômio
:
Então, substituindo de volta:
Passo 5
Finalmente, podemos rearranjar os termos para deixar a fatoração mais elegante:
Resposta
A fatoração do polinômio
, sabendo que 7 é raiz, é:
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, sabendo que 2 e 6 são raízes.
Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 1 é raiz.
Fatore os polinômios utilizando as regras práticas:
Fatore os polinômios utilizando as regras práticas: