Fatore os polinômios abaixo: -x^4 + 12x^3 - 35x^2, sabendo que 7 é raiz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fatorar o polinômio -x^4 + 12x^3 - 35x^2, sabendo que 7 é uma das raízes. Nosso objetivo aqui é encontrar todos os fatores desse polinômio. Para isso, vamos precisar usar o Teorema do Fator, que nos ajuda a determinar os fatores de um polinômio quando conhecemos suas raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teorema do Fator. Esse teorema diz que se r é uma raiz de um polinômio P(x), então é um fator de P(x). Como sabemos que 7 é raiz, temos que é um fator de -x^4 + 12x^3 - 35x^2.

Passo 3

Agora, vamos dividir o polinômio original por para encontrar o outro fator. Para fazer isso, podemos usar a Divisão Sintética ou a Divisão Longa de Polinômios. Vou optar pela divisão longa para facilitar a visualização.
Dividindo -x^4 + 12x^3 - 35x^2 por :
  1. Dividimos o termo de maior grau: .
  2. Multiplicamos por e subtraímos do polinômio original.
  3. Repetimos esse processo até obter o resto.
Após a divisão, encontramos que:

Passo 4

Agora, simplificamos o resultado da divisão. Podemos fatorar mais um pouco o polinômio :
Então, substituindo de volta:

Passo 5

Finalmente, podemos rearranjar os termos para deixar a fatoração mais elegante:

Resposta

A fatoração do polinômio -x^4 + 12x^3 - 35x^2, sabendo que 7 é raiz, é:

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