Fatore os polinômios abaixo:
, sabendo que 3 é raiz.
Passo 1
Vamos resolver o exercício de fatoração do polinômio
. Vamos usar conceitos de álgebra, especificamente o Teorema do Fator, que nos ajuda a encontrar fatores de polinômios sabendo que um determinado número é raiz do polinômio.
Passo 2
Primeiro, como sabemos que 3 é uma raiz do polinômio, isso significa que
satisfaz a equação
. Pelo Teorema do Fator, isso nos permite afirmar que
é um fator do polinômio.
Passo 3
Agora, precisamos dividir o polinômio
por
para encontrar o quociente, que será um polinômio de grau menor. Vamos fazer a divisão polinomial:
A divisão nos dá
com resto 17. Porém, como 3 é raiz, o resto deve ser zero. Houve um erro na divisão. Corrigindo:
Passo 4
Agora, temos
. Para fatorar completamente, verificamos se o polinômio quadrático
pode ser fatorado. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, o polinômio não tem raízes reais e não pode ser fatorado mais no conjunto dos números reais.
Resposta
A fatoração completa do polinômio é
.
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