O produto de dois números irracionais é sempre irracional?

Passo 1

Então, a pergunta que a gente vai responder hoje é: “O produto de dois números irracionais é sempre irracional?” A gente vai usar conceitos de números irracionais e revisar algumas propriedades de multiplicação para entender isso melhor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números irracionais. Números irracionais são aqueles que não podem ser escritos como uma fração simples, ou seja, não são o quociente de dois inteiros. Exemplos clássicos são √2, π e e.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando a gente multiplica dois números irracionais. A gente sabe que multiplicar números pode dar diferentes tipos de resultados: pode ser racional ou irracional. Então, a gente precisa analisar alguns casos.

Passo 4

Vamos ver um exemplo. Pegue √2, que é irracional, e multiplique por si mesmo:
Aqui, o resultado é 2, que é um número racional. Isso mostra que o produto de dois números irracionais pode ser racional.

Passo 5

Agora, vamos ver outro exemplo. Pegue π, que é irracional, e multiplique por √2, também irracional:
Nesse caso, o resultado é irracional. Então, o produto de dois números irracionais também pode ser irracional.

Passo 6

Esses exemplos mostram que o produto de dois números irracionais nem sempre é irracional. Depende dos números que a gente está multiplicando.

Resposta

Não, o produto de dois números irracionais nem sempre é irracional. Ele pode ser tanto racional quanto irracional, dependendo dos números envolvidos.

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