Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a percentagem da população que é colhida.
a) Qual o valor de corresponde à população estável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um modelo que descreve como a população de peixes muda ao longo do tempo em um lago. Estamos lidando com uma equação diferencial que envolve crescimento populacional e pesca. Para resolver a parte a), precisamos encontrar o valor de que representa a população estável. Isso geralmente envolve encontrar o ponto onde a população não está mais crescendo nem diminuindo, ou seja, onde .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui:
  • é a população de peixes no tempo .
  • é a taxa de nascimento dos peixes.
  • é a capacidade de suporte do lago, ou seja, a população máxima que o lago pode sustentar.
  • é a percentagem da população que é colhida (pesca).

Passo 3

Para encontrar a população estável, queremos saber quando a população não está mais mudando. Isso acontece quando a derivada é igual a zero:

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Primeiro, observe que é um fator comum:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. (não há peixes no lago).
  2. (população estável com presença de peixes).

Passo 5

Vamos resolver a segunda possibilidade para encontrar a população estável :
Primeiro, isolamos o termo com :

Passo 6

Agora, distribuímos o :
Em seguida, trazemos os termos com para um lado:
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Agora, isolamos :
Simplificando:

Resposta

A população estável é dada por:

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(a)
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
© .
a) 5 é primo é ímpar.
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo) é par.
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).
a) é par.
b) Não é verdade que (3 é par ou 5 é impar).
c) 2 é número par não é verdade que 3 é um número ímpar.
d) , então 2 é par.
e) Se 2 é par ou .
f) Se 2 é par então não é verdade que 3 é par.