Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde
é a taxa de nascimento dos peixes,
é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e
é a percentagem da população que é colhida.
a) Qual o valor de
corresponde à população estável?
a) Qual o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um modelo que descreve como a população de peixes muda ao longo do tempo em um lago. Estamos lidando com uma equação diferencial que envolve crescimento populacional e pesca. Para resolver a parte a), precisamos encontrar o valor de
que representa a população estável. Isso geralmente envolve encontrar o ponto onde a população não está mais crescendo nem diminuindo, ou seja, onde
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui:
-
é a população de peixes no tempo . -
é a taxa de nascimento dos peixes. -
é a capacidade de suporte do lago, ou seja, a população máxima que o lago pode sustentar. -
é a percentagem da população que é colhida (pesca).
Passo 3
Para encontrar a população estável, queremos saber quando a população não está mais mudando. Isso acontece quando a derivada
é igual a zero:
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Primeiro, observe que
é um fator comum:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
(não há peixes no lago). -
(população estável com presença de peixes).
Passo 5
Vamos resolver a segunda possibilidade para encontrar a população estável
:
Primeiro, isolamos o termo com
:
Passo 6
Agora, distribuímos o
:
Em seguida, trazemos os termos com
para um lado:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Resposta
A população estável é dada por: