(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite:
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, mais especificamente o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções
e
se comporta quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, já que qualquer potência de
tende a zero quando
vai para zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte do cosseno:
. À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, e assim
tende para mais infinito ou menos infinito, dependendo do lado de onde
se aproxima. O importante aqui é que a função cosseno oscila entre -1 e 1, independente do valor do seu argumento. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (já que qualquer número real elevado a uma potência par resulta em um número positivo), a desigualdade fica:
Isso significa que a expressão
está “presa” entre
e
.
Passo 5
Sabemos que
e
. Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que ambas têm o mesmo limite quando
se aproxima de um ponto, então a função intermediária também tem esse limite.
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
© .
©
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que
.
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde
é a taxa de nascimento dos peixes,
é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e
é a percentagem da população que é colhida.
a) Qual o valor de corresponde à população estável?
a) Qual o valor de
a) 5 é primo
é ímpar.
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo) é par.
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo)
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).