(a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite: . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, mais especificamente o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções e se comporta quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, já que qualquer potência de tende a zero quando vai para zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte do cosseno: . À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, e assim tende para mais infinito ou menos infinito, dependendo do lado de onde se aproxima. O importante aqui é que a função cosseno oscila entre -1 e 1, independente do valor do seu argumento. Então, .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por . Como é sempre positivo (já que qualquer número real elevado a uma potência par resulta em um número positivo), a desigualdade fica:
Isso significa que a expressão está “presa” entre e .

Passo 5

Sabemos que e . Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que ambas têm o mesmo limite quando se aproxima de um ponto, então a função intermediária também tem esse limite.

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
© .
Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que .
Em uma fazenda de piscicultura, uma população de peixes é colocada dentro de um lago e colhida regularmente. Um modelo para a variação da população é dada pela equação:
onde é a taxa de nascimento dos peixes, é a população máxima que o pequeno lago pode manter (capacidade de suporte) e é a percentagem da população que é colhida.
a) Qual o valor de corresponde à população estável?
a) 5 é primo é ímpar.
b) 5 é primo ou 4 é ímpar.
c) (Não é verdade que 5 é primo) é par.
d) Não é verdade que (5 é primo ou 4 é ímpar).