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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite:
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo de Limites, mais especificamente o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para resolver, vamos precisar entender como o comportamento das funções
e
se comporta quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, já que qualquer potência de
tende a zero quando
vai para zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte do cosseno:
. À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, e assim
tende para mais infinito ou menos infinito, dependendo do lado de onde
se aproxima. O importante aqui é que a função cosseno oscila entre -1 e 1, independente do valor do seu argumento. Então,
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (já que qualquer número real elevado a uma potência par resulta em um número positivo), a desigualdade fica:
Isso significa que a expressão
está “presa” entre
e
.
Passo 5
Sabemos que
e
. Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas funções que ambas têm o mesmo limite quando
se aproxima de um ponto, então a função intermediária também tem esse limite.
Resposta
Portanto,
.