Fazendo uma volta completa (um loop). Um carro em um parque de diversões se desloca sem atrito ao longo do trilho indicado na Figura P7.42. Ele parte do repouso no ponto A, situado a uma altura h acima da base do círculo. Considere o carro como uma partícula. (a) Qual é o menor valor de h (em função de R) para que o carro atinja o topo do círculo (ponto B) sem cair? (b) Se h=3,50 R e R=14,0 m, calcule a velocidade, o componente radial da aceleração e o componente tangencial da aceleração dos passageiros quando o carro está no ponto C, que está na extremidade de um diâmetro horizontal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento circular e energia. A questão fala de um carro num parque de diversões que faz uma volta completa em um trilho sem atrito. Precisamos descobrir duas coisas:
(a) A menor altura de onde o carro deve partir para conseguir chegar ao topo do círculo sem cair.
(b) Com uma altura dada, calcular a velocidade e as acelerações radial e tangencial do carro em um ponto específico do trajeto.
Pra isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica e forças em movimento circular. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o item (a). Queremos encontrar a menor altura que permite ao carro chegar ao ponto B, que está no topo do círculo.
No ponto A, o carro tem energia potencial gravitacional e não tem energia cinética porque parte do repouso. No ponto B, ele precisa ter pelo menos a velocidade necessária para que a força centrípeta seja igual à força gravitacional, evitando que o carro caia.

Passo 3

Vamos usar a conservação da energia. A energia mecânica total no ponto A é igual à energia no ponto B:
m g h = m g (2R) + 12 m v^2
Aqui, é a massa do carro, é a aceleração da gravidade, é a altura inicial, e é o raio do círculo.

Passo 4

No ponto B, a velocidade mínima m v^2R = m g necessária para que o carro não caia é aquela que satisfaz a condição para a força centrípeta:
v^2 = g R
Simplificando:

Passo 5

Substituindo m g h = m g (2R) + 12 m g R na equação da energia:
g h = 2 g R + 12 g R
Podemos cancelar de todos os lados:

Passo 6

Dividindo todos os termos por h = 2 R + 12 R = 52 R :

Resposta

(a) A menor altura é .

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