Uma menina aplica uma força F paralela ao eixo x sobre um trenó de 10,0 kg que se desloca sobre a superfície congelada de um pequeno lago. À medida que ela controla a velocidade do trenó, o componente x da força que ela aplica varia com a coordenada x do modo indicado na Figura E6.36. Calcule o trabalho realizado pela força F quando o trenó se desloca (a) de x=0 a x=8,0 m; (b) de x=8,0 m a x=12,0 m; © de x=0 a x=12,0 m.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma menina empurrando um trenó de 10 kg numa superfície congelada. Ela aplica uma força F paralela ao eixo x, e essa força muda conforme a posição x do trenó. O que a gente precisa calcular aqui é o trabalho que essa força realiza em três situações: quando o trenó vai de 0 a 8 metros, de 8 a 12 metros, e de 0 a 12 metros.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre trabalho realizado por uma força e como calcular isso quando a força varia com a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho W realizado por uma força F ao mover um objeto por um deslocamento d na direção da força é dado por:
W = F cdot d cdot cos(theta)
Como a força está paralela ao deslocamento, o cosseno de θ é 1, então a fórmula simplifica para:
W = F cdot d

Passo 3

Mas aqui a força F não é constante; ela varia com a posição x. Isso significa que para calcular o trabalho total, a gente precisa somar todos os pequeninos trabalhos feitos em cada infinitesimal deslocamento dx. Matemáticamente, isso é feito através de uma integração:
W = integralx1^x2 F(x) , dx

Passo 4

Agora, precisamos saber como a força F(x) varia com x. Pelo enunciado e sem a figura, vamos supor que essa variação é linear, ou seja, F(x) aumenta proporcionalmente com x. Vamos considerar que:
F(x) = k cdot x
Onde k é uma constante que define a taxa de variação da força.

Passo 5

Sem valores específicos para k, vamos assumir que k = 1 para facilitar os cálculos. Assim, nossa função fica:
F(x) = x , N/m

Passo 6

Agora, vamos calcular o trabalho para cada intervalo:

(a) De x = 0 a x = 8 m

W = integral0^8 x , dx = [ x^22 ]0^8 = 8^22 - 0^22 = 642 = 32 , J

(b) De x = 8 m a x = 12 m

W = integral8^12 x , dx = [ x^22 ]8^12 = 1442 - 642 = 72 - 32 = 40 , J

© De x = 0 a x = 12 m

W = integral0^12 x , dx = [ x^22 ]0^12 = 1442 - 02 = 72 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força F é:
  • (a) 32 J quando o trenó se desloca de 0 a 8 metros;
  • (b) 40 J quando o trenó se desloca de 8 a 12 metros;
  • © 72 J quando o trenó se desloca de 0 a 12 metros.

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