Uma menina aplica uma força
paralela ao eixo
sobre um trenó de
que se desloca sobre a superfície congelada de um pequeno lago. À medida que ela controla a velocidade do trenó, o componente
da força que ela aplica varia com a coordenada
do modo indicado na Figura E6.36. Calcule o trabalho realizado pela força
quando o trenó se desloca (a) de
a
; (b) de
a
; © de
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma menina empurrando um trenó de 10 kg numa superfície congelada. Ela aplica uma força F paralela ao eixo x, e essa força muda conforme a posição x do trenó. O que a gente precisa calcular aqui é o trabalho que essa força realiza em três situações: quando o trenó vai de 0 a 8 metros, de 8 a 12 metros, e de 0 a 12 metros.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre trabalho realizado por uma força e como calcular isso quando a força varia com a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é trabalho na física. O trabalho W realizado por uma força F ao mover um objeto por um deslocamento d na direção da força é dado por:
Como a força está paralela ao deslocamento, o cosseno de θ é 1, então a fórmula simplifica para:
Passo 3
Mas aqui a força F não é constante; ela varia com a posição x. Isso significa que para calcular o trabalho total, a gente precisa somar todos os pequeninos trabalhos feitos em cada infinitesimal deslocamento dx. Matemáticamente, isso é feito através de uma integração:
Passo 4
Agora, precisamos saber como a força F(x) varia com x. Pelo enunciado e sem a figura, vamos supor que essa variação é linear, ou seja, F(x) aumenta proporcionalmente com x. Vamos considerar que:
Onde k é uma constante que define a taxa de variação da força.
Passo 5
Sem valores específicos para k, vamos assumir que k = 1 para facilitar os cálculos. Assim, nossa função fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o trabalho para cada intervalo:
(a) De x = 0 a x = 8 m
(b) De x = 8 m a x = 12 m
© De x = 0 a x = 12 m
Resposta
O trabalho realizado pela força F é:
- (a) 32 J quando o trenó se desloca de 0 a 8 metros;
- (b) 40 J quando o trenó se desloca de 8 a 12 metros;
- © 72 J quando o trenó se desloca de 0 a 12 metros.