Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer na parte (a). A gente tem que encontrar o limite quando vai para o infinito da soma . Isso envolve séries e limites, e vamos precisar usar um pouco de álgebra e conceitos de somatório.

Passo 2

Primeiro, podemos separar a soma em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada soma separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira soma: .
Sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda soma: .
Sabemos que . Então:

Passo 5

Agora, juntando as duas somas:

Passo 6

Finalmente, vamos tirar o limite quando vai para o infinito:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o limite quando vai para o infinito da soma . Isso também envolve séries e limites, e vamos precisar de um pouco de cálculo para resolver.

Passo 8

Primeiro, observamos que quando cresce, vai de 0 até . Vamos reescrever a soma de uma forma que possamos relacionar com integrais.

Passo 9

Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por :
Isso nos ajuda a ver a soma como uma aproximação de uma integral.

Passo 10

Vamos considerar . Quando é grande, varia de 0 a 1. Então, a soma pode ser aproximada por:
Essa é a definição de uma integral como limite de uma soma de Riemann.

Passo 11

Agora, vamos calcular a integral:
Fazendo uma substituição , , então:

Passo 12

Então, o limite da soma é igual ao valor da integral:

Resposta

ii.

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