Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do lim n infty sumk=1^n(kn^2-k^2n^3) é:
i. 23
ii. 12
iii. 16
iv. 112
(b) O valor do lim n infty sumk=0^n kk^2+n^2 é:
i. 14 ln 2
ii. 12 ln 2
iii. ln 2
iv. 2 ln 2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer na parte (a). A gente tem que encontrar o limite quando vai para o infinito da soma . Isso envolve séries e limites, e vamos precisar usar um pouco de álgebra e conceitos de somatório.

Passo 2

Primeiro, podemos separar a soma em duas partes para facilitar:
sumk=1^n(kn^2-k^2n^3) = sumk=1^nkn^2 - sumk=1^nk^2n^3
Agora, vamos resolver cada soma separadamente.

Passo 3

Vamos calcular a primeira soma: sumk=1^nkn^2 = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n(n+1)2n^2 = n+12n = 12 + 12n .
Sabemos que . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda soma: sumk=1^nk^2n^3 = 1n^3 cdot n(n+1)(2n+1)6 = (n+1)(2n+1)6n^2 = 2n^2 + 3n +16n^2 = 26 + 36n + 16n^2 = 13 + 12n + 16n^2 .
Sabemos que . Então:

Passo 5

Agora, juntando as duas somas:
sumk=1^n(kn^2-k^2n^3) = (12 + 12n) - (13 + 12n + 16n^2) = 12 - 13 - 16n^2 = 16 - 16n^2

Passo 6

Finalmente, vamos tirar o limite quando lim n infty (16 - 16n^2) = 16 - 0 = 16 vai para o infinito:

Passo 7

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar o limite quando vai para o infinito da soma . Isso também envolve séries e limites, e vamos precisar de um pouco de cálculo para resolver.

Passo 8

Primeiro, observamos que quando cresce, vai de 0 até . Vamos reescrever a soma de uma forma que possamos relacionar com integrais.

Passo 9

Vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador por kk^2+n^2 = kn(kn)^2 + 1 cdot 1n :
Isso nos ajuda a ver a soma como uma aproximação de uma integral.

Passo 10

Vamos considerar sumk=0^n kk^2+n^2 approx sumk=0^n xx^2 + 1 cdot 1n approx integral0^1 xx^2 + 1 dx . Quando é grande, varia de 0 a 1. Então, a soma pode ser aproximada por:
Essa é a definição de uma integral como limite de uma soma de Riemann.

Passo 11

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 xx^2 + 1 dx
Fazendo uma substituição 12 integral1^2 1u du = 12 ln|u| |1^2 = 12 (ln 2 - ln 1) = 12 ln 2 , , então:

Passo 12

Então, o limite da soma é igual ao valor da integral:
lim n infty sumk=0^n kk^2+n^2 = 12 ln 2

Resposta

ii.

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