Resolva a equação trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação trigonométrica
. Aqui estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e transformar a equação de um jeito que fique mais fácil de resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno. Sabemos que:
Essa identidade é super útil porque assim conseguimos escrever tudo em termos de
, facilitando a resolução da equação.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na nossa equação original pela expressão que acabamos de lembrar:
Isso nos dá uma equação que só envolve
.
Passo 4
Vamos organizar a equação para deixar tudo igual a zero. Primeiro, subtraímos
de ambos os lados:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por
para deixar o termo quadrático positivo:
Agora temos uma equação quadrática em termos de
.
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
O discriminante (
) deu zero, então temos apenas uma solução:
.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem
. Sabemos que o seno de
(ou
radianos) é
. Além disso, o seno é positivo no primeiro e no segundo quadrante, então as soluções são:
onde
é qualquer inteiro.
Resposta
As soluções da equação são:
Exercícios relacionados
Simplifique:
Prove que
Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(a) O valor do
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do
i.
ii.
iii.
iv.
Encontre uma expressão equivalente para
em termos de
e