Resolva a equação trigonométrica:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação trigonométrica . Aqui estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e transformar a equação de um jeito que fique mais fácil de resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno. Sabemos que:
Essa identidade é super útil porque assim conseguimos escrever tudo em termos de , facilitando a resolução da equação.

Passo 3

Agora, vamos substituir na nossa equação original pela expressão que acabamos de lembrar:
Isso nos dá uma equação que só envolve .

Passo 4

Vamos organizar a equação para deixar tudo igual a zero. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por para deixar o termo quadrático positivo:
Agora temos uma equação quadrática em termos de .

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
O discriminante ( ) deu zero, então temos apenas uma solução: .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem . Sabemos que o seno de (ou radianos) é . Além disso, o seno é positivo no primeiro e no segundo quadrante, então as soluções são:
onde é qualquer inteiro.

Resposta

As soluções da equação são:

Exercícios relacionados

Simplifique:
Prove que
Fazer o indicado em cada item:
(a) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
(b) O valor do é:
i.
ii.
iii.
iv.
Encontre uma expressão equivalente para em termos de e