Resolva a equação trigonométrica: cos^2(x) + sen(x) = 5/4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a equação trigonométrica . Aqui estamos trabalhando com trigonometria, especificamente com as funções seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas identidades trigonométricas e transformar a equação de um jeito que fique mais fácil de resolver para x.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno. Sabemos que:
Essa identidade é super útil porque assim conseguimos escrever tudo em termos de , facilitando a resolução da equação.

Passo 3

Agora, vamos substituir na nossa equação original pela expressão que acabamos de lembrar:
Isso nos dá uma equação que só envolve .

Passo 4

Vamos organizar a equação para deixar tudo igual a zero. Primeiro, subtraímos de ambos os lados:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por -1 para deixar o termo quadrático positivo:
Agora temos uma equação quadrática em termos de .

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
O discriminante ( ) deu zero, então temos apenas uma solução: .

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem . Sabemos que o seno de (ou pi/6 radianos) é 1/2. Além disso, o seno é positivo no primeiro e no segundo quadrante, então as soluções são:
onde k é qualquer inteiro.

Resposta

As soluções da equação são:

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