Quaisquer que sejam as matrizes A e B, ambas quadradas e de ordem igual a 3, marque a alternativa correta:
a) (A B)^-1=A^-1 B^-1
b) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2
c) se A é invertível, então o det A^-1=det 1 / A
d) se B=3 A, então det B=27 det A
e) se A B=0 (matriz nula), então A=0 ou B=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e , ambas de ordem 3. Precisamos verificar qual das alternativas apresentadas está correta em relação às propriedades das matrizes. Para resolver isso, vamos precisar conhecer alguns conceitos de álgebra matricial, como inverso de matrizes, determinantes e operações básicas com matrizes.

Passo 2

Vamos analisar cada alternativa uma por uma para ver qual está correta.
Alternativa a) (A B)^-1 = B^-1 A^-1
Aqui, estamos falando do inverso do produto de duas matrizes. Na teoria, sabemos que o inverso do produto de duas matrizes é igual ao produto dos inversos na ordem inversa. Ou seja:
det (A^-1) = 1det A
Portanto, a alternativa a) está errada porque inverte a ordem dos inversos.
Alternativa b) det B = 3^3 det A = 27 det A
Essa expressão se assemelha à expansão do quadrado de um binômio. Nas matrizes, a multiplicação não é comutativa, ou seja, nem sempre é igual a . Além disso, a distribuição do quadrado para matrizes não segue exatamente a mesma regra do cálculo comum. Portanto, a alternativa b) está errada.
Alternativa c) Se é invertível, então
Primeiro, vale lembrar que o determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja:
A expressão geralmente não é utilizada, mas assumindo que representa , a igualdade faz sentido. Portanto, a alternativa c) está correta.
Alternativa d) Se , então
Sabemos que se uma matriz é multiplicada por um escalar , o determinante da nova matriz é vezes o determinante de , onde é a ordem da matriz. Aqui, , então:
Portanto, a alternativa d) está correta.
Alternativa e) Se (matriz nula), então ou
Em álgebra matricial, o produto de duas matrizes pode ser igual à matriz nula mesmo quando nenhuma das matrizes é a matriz nula. Portanto, a afirmação de que ou é falsa. A alternativa e) está errada.

Resposta

As alternativas corretas são c) e d).

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