Em um lançamento parabólico oblíquo, uma bola é atirada com velocidade inicial de módulo vi=6,00 m / s formando um ângulo com a horizontal de thetai. O alcance horizontal total é R=3,00 m e a bola alcança uma altura máxima de 0,500 m. (b) Qual é o módulo da velocidade ( em m / s ) na altura máxima da trajetória?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um lançamento parabólico oblíquo, onde uma bola é lançada com uma velocidade inicial de formando um ângulo com a horizontal. Sabemos que o alcance horizontal total é e a altura máxima alcançada é . A gente precisa descobrir qual é a velocidade da bola na altura máxima da trajetória.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de lançamento parabólico:
  • Dividir a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.
  • Uso de fórmulas de cinemática para determinar tempo de subida e alcance.
  • Reconhecer que na altura máxima, a componente vertical da velocidade é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade inicial pode ser dividida em duas componentes:
  • Horizontal:
  • Vertical:
Essas fórmulas vêm da trigonometria básica, onde usamos o cosseno e o seno do ângulo para separar as componentes.

Passo 3

Sabemos que na altura máxima da trajetória, a componente vertical da velocidade é zero, ou seja, v = vx = vi cos(thetai) . Isso porque a bola para de subir e começa a descer. Mas a componente horizontal permanece constante durante todo o movimento (já que não há aceleração na horizontal).
Então, na altura máxima, a velocidade da bola é apenas a componente horizontal:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar R = vi^2 sin(2thetai)g na altura máxima. Precisamos primeiro descobrir o ângulo h = vi^2 sin^2(thetai)2g . Para isso, vamos usar as informações do alcance e da altura máxima .
A fórmula do alcance no lançamento oblíquo é:
onde é a aceleração da gravidade.
E a fórmula da altura máxima é:

Passo 5

Vamos usar a fórmula da altura máxima para encontrar 0,500 = (6,00)^2 sin^2(thetai)2 times 9,8 :
0,500 = 36 sin^2(thetai)19,6
0,500 times 19,6 = 36 sin^2(thetai)
9,8 = 36 sin^2(thetai)
sin^2(thetai) = 9,836
sin^2(thetai) approx 0,2722
sin(thetai) approx raiz0,2722
sin(thetai) approx 0,522

Passo 6

Agora que temos sin^2(thetai) + cos^2(thetai) = 1 , podemos encontrar cos^2(thetai) = 1 - sin^2(thetai) usando a identidade trigonométrica:
cos^2(thetai) = 1 - 0,2722
cos^2(thetai) approx 0,7278
cos(thetai) approx raiz0,7278
cos(thetai) approx 0,8534

Passo 7

Agora podemos calcular a velocidade na altura máxima usando:
v = vi cos(thetai)
v = 6,00 times 0,8534
v approx 5,12 , m/s

Resposta

A velocidade da bola na altura máxima da trajetória é aproximadamente 5,12 m/s.

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