Em um lançamento parabólico oblíquo, uma bola é atirada com velocidade inicial de módulo formando um ângulo com a horizontal de . O alcance horizontal total é e a bola alcança uma altura máxima de . (a) Calcule o ângulo (em graus) que a bola é atirada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento parabólico! A gente tem uma bola que é lançada com uma velocidade inicial de formando um ângulo com a horizontal. Sabemos que o alcance total horizontal é de e a altura máxima atingida é de . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse ângulo . Para isso, vamos usar as fórmulas do movimento de projéteis e entender um pouquinho de trigonometria envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. A velocidade horizontal ( ) é dada por:
E a velocidade vertical ( ) é:
Essas componentes vão nos ajudar a relacionar a velocidade com o alcance e a altura máxima.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da altura máxima alcançada pelo projétil. A altura máxima ( ) ocorre quando a velocidade vertical é zero. A fórmula para a altura máxima é:
Onde é a aceleração da gravidade, que é aproximadamente . Substituindo pela expressão que temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Agora, isolamos :
Então,

Passo 5

Agora que temos , podemos usar a fórmula do alcance horizontal para relacionar com o ângulo. A fórmula do alcance ( ) é:
Sabemos que , então:
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :

Passo 6

Agora temos duas equações envolvendo :
Vamos usar a identidade trigonométrica :
Isolando :

Passo 7

Agora, temos e . Podemos encontrar o ângulo usando a função :
Então,

Resposta

O ângulo de lançamento é de aproximadamente .

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