Em um lançamento parabólico oblíquo, uma bola é atirada com velocidade inicial de módulo
formando um ângulo com a horizontal de
. O alcance horizontal total é
e a bola alcança uma altura máxima de
. (a) Calcule o ângulo
(em graus) que a bola é atirada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento parabólico! A gente tem uma bola que é lançada com uma velocidade inicial de
formando um ângulo
com a horizontal. Sabemos que o alcance total horizontal é de
e a altura máxima atingida é de
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse ângulo
. Para isso, vamos usar as fórmulas do movimento de projéteis e entender um pouquinho de trigonometria envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. A velocidade horizontal (
) é dada por:
E a velocidade vertical (
) é:
Essas componentes vão nos ajudar a relacionar a velocidade com o alcance e a altura máxima.
Passo 3
Vamos usar a fórmula da altura máxima alcançada pelo projétil. A altura máxima (
) ocorre quando a velocidade vertical é zero. A fórmula para a altura máxima é:
Onde
é a aceleração da gravidade, que é aproximadamente
. Substituindo
pela expressão que temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Então,
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar a fórmula do alcance horizontal para relacionar com o ângulo. A fórmula do alcance (
) é:
Sabemos que
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 6
Agora temos duas equações envolvendo
:
Vamos usar a identidade trigonométrica
:
Isolando
:
Passo 7
Agora, temos
e
. Podemos encontrar o ângulo
usando a função
:
Então,
Resposta
O ângulo de lançamento
é de aproximadamente
.