Em um lançamento parabólico oblíquo, uma bola é atirada com velocidade inicial de módulo vi=6,00 m / s formando um ângulo com a horizontal de thetai. O alcance horizontal total é R=3,00 m e a bola alcança uma altura máxima de 0,500 m. (a) Calcule o ângulo thetai (em graus) que a bola é atirada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de lançamento parabólico! A gente tem uma bola que é lançada com uma velocidade inicial de 6,00, m/s formando um ângulo thetai com a horizontal. Sabemos que o alcance total horizontal é de 3,00, m e a altura máxima atingida é de 0,500, m. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é esse ângulo thetai. Para isso, vamos usar as fórmulas do movimento de projéteis e entender um pouquinho de trigonometria envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas suas componentes horizontal e vertical. A velocidade horizontal ( vx) é dada por:
vx = vi cdot cos(thetai)
E a velocidade vertical ( vy) é:
vy = vi cdot sin(thetai)
Essas componentes vão nos ajudar a relacionar a velocidade com o alcance e a altura máxima.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da altura máxima alcançada pelo projétil. A altura máxima ( h) ocorre quando a velocidade vertical é zero. A fórmula para a altura máxima é:
h = vy^22g
Onde g é a aceleração da gravidade, que é aproximadamente 9,81, m/s^2. Substituindo vy pela expressão que temos:
0,500 = (6,00 cdot sin(thetai))^22 cdot 9,81

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar sin(thetai). Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 2g:
0,500 cdot 2 cdot 9,81 = (6,00 cdot sin(thetai))^2
9,81 = 36,00 cdot sin^2(thetai)
Agora, isolamos sin^2(thetai):
sin^2(thetai) = 9,8136,00
sin^2(thetai) = 0,2725
Então,
sin(thetai) = raiz0,2725 approx 0,522

Passo 5

Agora que temos sin(thetai), podemos usar a fórmula do alcance horizontal para relacionar com o ângulo. A fórmula do alcance ( R) é:
R = vi^2 cdot sin(2thetai)g
Sabemos que R = 3,00, m, então:
3,00 = 6,00^2 cdot sin(2thetai)9,81
3,00 = 36,00 cdot sin(2thetai)9,81
Multiplicando ambos os lados por 9,81:
29,43 = 36,00 cdot sin(2thetai)
Isolando sin(2thetai):
sin(2thetai) = 29,4336,00 approx 0,8175

Passo 6

Agora temos duas equações envolvendo thetai:
  1. sin(thetai) approx 0,522
  2. sin(2thetai) approx 0,8175
Vamos usar a identidade trigonométrica sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta):
0,8175 = 2 cdot 0,522 cdot cos(thetai)
0,8175 = 1,044 cdot cos(thetai)
Isolando cos(thetai):
cos(thetai) = 0,81751,044 approx 0,7828

Passo 7

Agora, temos sin(thetai) approx 0,522 e cos(thetai) approx 0,7828. Podemos encontrar o ângulo thetai usando a função arctan:
tan(thetai) = sin(thetai)cos(thetai) = 0,5220,7828 approx 0,667
Então,
thetai = arctan(0,667) approx 33^circ

Resposta

O ângulo de lançamento thetai é de aproximadamente 33^circ.

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