Na superfície da Terra, uma área de 1 cm^2, perpendicular aos raios solares, recebe 0,13 J de energia irradiada por segundo. Sabendo que o raio do Sol é da ordem de 7 times 10^8 m, e que a distância Sol-Terra é da ordem de 1,5 times 10^8 km. Determine a temperatura na superfície do Sol (supondo que ele seja um corpo negro).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a quantidade de energia que a Terra recebe do Sol e nos pede para descobrir qual a temperatura na superfície do Sol, assumindo que ele é um corpo negro. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de radiação solar, a lei do inverso do quadrado para a propagação da energia e a lei de Stefan-Boltzmann para relacionar a energia irradiada com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a energia se propaga do Sol até a Terra. A energia irradiada pelo Sol se espalha em todas as direções formando uma esfera. Para calcular a intensidade dessa energia na distância da Terra, usamos a lei do inverso do quadrado, que diz que a intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância.

Passo 3

A fórmula da intensidade irradiada é:
I = P4pi d^2
Onde:
  • P = I times 4pi d^2 é a intensidade (energia por segundo por unidade de área) na Terra,
  • é a potência total irradiada pelo Sol,
  • é a distância entre o Sol e a Terra.
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos:
  • 0,13 , J/s/cm^2 = 0,13 times 10^4 , J/s/m^2 = 1300 , J/s/m^2 . Para ficar em unidades do SI, convertemos cm² para m²:
P = 1300 times 4pi times (1,5 times 10^11)^2
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Calculando (1,5 times 10^11)^2 = 2,25 times 10^22 , m^2 :
P = 1300 times 4pi times 2,25 times 10^22 = 1300 times 28,274 times 10^22 approx 3,68 times 10^28 , J/s
Então:

Passo 6

Agora, usamos a lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência irradiada por um corpo negro com sua temperatura:
P = sigma times A times T^4
Onde:
  • T = ( Psigma times A )^1/4 é a constante de Stefan-Boltzmann,
  • é a área da superfície do Sol,
  • é a temperatura da superfície do Sol.
Queremos encontrar , então rearranjamos a fórmula:

Passo 7

Calculando a área A = 4pi R^2 = 4pi times (7 times 10^8)^2 = 4pi times 4,9 times 10^17 approx 6,16 times 10^18 , m^2 do Sol:

Passo 8

Substituindo T = ( 3,68 times 10^285,67 times 10^-8 times 6,16 times 10^18 )^1/4 e T = ( 3,68 times 10^283,49 times 10^11 )^1/4 = (1,056 times 10^17)^1/4 na fórmula para T approx 5778 , K :

Resposta

A temperatura na superfície do Sol é aproximadamente 5778 Kelvin.

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