Quando um feixe de luz se propaga num meio com índice de refração , sua frequência não é alterada em comparação à frequência de propagação no vácuo. Isso não acontece com o comprimento de onda e a velocidade de propagação.
Mostrar que o comprimento de onda no meio de índice é ( é o comprimento de onda no vácuo).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um feixe de luz que entra em um meio com índice de refração . Sabemos que a frequência da luz não muda quando ela entra nesse meio, mas o comprimento de onda e a velocidade da luz sim mudam. Nosso objetivo aqui é provar que o comprimento de onda no meio, chamado de , é igual ao comprimento de onda no vácuo dividido pelo índice de refração . Para resolver isso, vamos precisar usar as relações entre velocidade, frequência e comprimento de onda da luz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a relação básica que liga velocidade ( ), frequência ( ) e comprimento de onda ( ) da luz:
No vácuo, a velocidade da luz é e o comprimento de onda é . Então, temos:

Passo 3

Quando a luz entra no meio com índice de refração , sua velocidade muda para , mas a frequência permanece a mesma. A nova relação fica:
Sabemos também que o índice de refração é definido como a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade no meio:

Passo 4

Vamos expressar a velocidade no meio em termos do índice de refração:
Agora, substituímos na equação que relaciona velocidade, frequência e comprimento de onda no meio:

Passo 5

Lembrando que no vácuo temos , podemos substituir na equação acima:
Agora, simplificamos dos dois lados:

Passo 6

Isolando , temos:

Resposta

O comprimento de onda no meio com índice de refração é .

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