A metade de uma circunferência de raio R está uniformemente carregado com carga q>0. Calcule o vetor campo elétrico produzido num ponto que é equidistante de todos os elementos d q deste corpo.
Resposta: E=-q2 pi^2 epsilon0 R^2 j

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o enunciado nos pede. Temos metade de uma circunferência (um semicirculo) com raio R, que está carregado de maneira uniforme com uma carga total q > 0. Precisamos calcular o vetor campo elétrico produzido em um ponto que está igualmente distante de todos os pequenos elementos de carga dq dessa semicircunferência.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de elétrica estática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição dos campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde fica esse ponto que está equidistante de todos os elementos de carga dq. Em uma semicircunferência, esse ponto fica no centro da circunferência. Isso porque todos os pontos na semicircunferência estão a uma distância R desse ponto central.

Passo 3

Agora, vamos pensar no campo elétrico devido a um pequeno elemento de carga dq. De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico dE devido a essa carga em um ponto distante é dado por:
dE = 14piepsilon0 dqR^2 r
onde epsilon0 é a permissividade do vácuo e r é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 4

Como a carga está distribuída uniformemente ao longo da semicircunferência, podemos integrar dE ao longo de todo o arco para encontrar o campo total E. No entanto, devido à simetria da semicircunferência, as componentes horizontais dos campos elétricos de cargas opostas se cancelam, deixando apenas a componente vertical.

Passo 5

Vamos calcular a componente vertical do campo elétrico. Para isso, precisamos somar as componentes verticais de todos os dE. Essa soma integral dá:
E = 14piepsilon0 qR^2 cdot 2pi
Aqui, 2pi vem da integração das componentes verticais ao longo do ângulo de 180^circ da semicircunferência.

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
E = q2pi^2epsilon0 R^2
Como o campo elétrico aponta na direção negativa do eixo j (para baixo), adicionamos o vetor unitário j com sinal negativo.

Resposta

E = -q2 pi^2 epsilon0 R^2 j

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