A metade de uma circunferência de raio está uniformemente carregado com carga . Calcule o vetor campo elétrico produzido num ponto que é equidistante de todos os elementos deste corpo.
Resposta:

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o enunciado nos pede. Temos metade de uma circunferência (um semicirculo) com raio , que está carregado de maneira uniforme com uma carga total . Precisamos calcular o vetor campo elétrico produzido em um ponto que está igualmente distante de todos os pequenos elementos de carga dessa semicircunferência.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de elétrica estática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição dos campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde fica esse ponto que está equidistante de todos os elementos de carga . Em uma semicircunferência, esse ponto fica no centro da circunferência. Isso porque todos os pontos na semicircunferência estão a uma distância desse ponto central.

Passo 3

Agora, vamos pensar no campo elétrico devido a um pequeno elemento de carga . De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico devido a essa carga em um ponto distante é dado por:
onde é a permissividade do vácuo e é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo.

Passo 4

Como a carga está distribuída uniformemente ao longo da semicircunferência, podemos integrar ao longo de todo o arco para encontrar o campo total . No entanto, devido à simetria da semicircunferência, as componentes horizontais dos campos elétricos de cargas opostas se cancelam, deixando apenas a componente vertical.

Passo 5

Vamos calcular a componente vertical do campo elétrico. Para isso, precisamos somar as componentes verticais de todos os . Essa soma integral dá:
Aqui, vem da integração das componentes verticais ao longo do ângulo de da semicircunferência.

Passo 6

Simplificando a expressão, temos:
Como o campo elétrico aponta na direção negativa do eixo (para baixo), adicionamos o vetor unitário com sinal negativo.

Resposta

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