A metade de uma circunferência de raio
está uniformemente carregado com carga
. Calcule o vetor campo elétrico produzido num ponto que é equidistante de todos os elementos
deste corpo.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o enunciado nos pede. Temos metade de uma circunferência (um semicirculo) com raio
, que está carregado de maneira uniforme com uma carga total
. Precisamos calcular o vetor campo elétrico produzido em um ponto que está igualmente distante de todos os pequenos elementos de carga
dessa semicircunferência.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de elétrica estática, especificamente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição dos campos elétricos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde fica esse ponto que está equidistante de todos os elementos de carga
. Em uma semicircunferência, esse ponto fica no centro da circunferência. Isso porque todos os pontos na semicircunferência estão a uma distância
desse ponto central.
Passo 3
Agora, vamos pensar no campo elétrico devido a um pequeno elemento de carga
. De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico
devido a essa carga em um ponto distante é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo e
é o vetor unitário na direção do ponto onde estamos calculando o campo.
Passo 4
Como a carga está distribuída uniformemente ao longo da semicircunferência, podemos integrar
ao longo de todo o arco para encontrar o campo total
. No entanto, devido à simetria da semicircunferência, as componentes horizontais dos campos elétricos de cargas opostas se cancelam, deixando apenas a componente vertical.
Passo 5
Vamos calcular a componente vertical do campo elétrico. Para isso, precisamos somar as componentes verticais de todos os
. Essa soma integral dá:
Aqui,
vem da integração das componentes verticais ao longo do ângulo de
da semicircunferência.
Passo 6
Simplificando a expressão, temos:
Como o campo elétrico aponta na direção negativa do eixo
(para baixo), adicionamos o vetor unitário
com sinal negativo.