Felipe ficou sem tempo durante uma prova de múltipla escolha e vai tentar adivinhar as 4 últimas questões. Cada questão tem 5 alternativas possíveis, sendo apenas uma correta. Seja X= o número de respostas que Felipe acerta nas últimas 4 questões. Assuma que os resultados dos seus chutes são independentes. Qual é a probabilidade de que ele acerte exatamente 1 das últimas 4 questões? Você pode arredondar sua resposta para duas casas decimais. P(X=1)= 0

Passo 1

Vamos entender o problema: o Felipe tem 4 questões de múltipla escolha para adivinhar, cada uma com 5 alternativas possíveis, sendo apenas uma correta. Queremos calcular a probabilidade de ele acertar exatamente 1 dessas 4 questões. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajudam a determinar a chance de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar duas coisas importantes:
  1. Número de tentativas (n): Neste caso, Felipe está tentando responder 4 questões, então $ n = 4 $.
  2. Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: Como há apenas uma resposta correta entre 5 alternativas, a chance de acertar uma questão ao adivinhar é $ p = \frac{1}{5} = 0,2 $.

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de exatamente 1 acerto nas 4 tentativas. Usamos a fórmula da probabilidade binomial:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (também chamado de “coeficiente binomial”),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa,
  • $ k $ é o número de sucessos desejados.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Coeficiente binomial $ C(4, 1) $:
C(4, 1)
  1. Probabilidade de sucesso elevada a $ k $:
C(4, 1) = 4!1!(4 - 1)! = 4 times 3 times 2 times 11 times 3 times 2 times 1 = 4
  1. Probabilidade de insucesso elevada a $ n - k $:
k

Passo 5

Agora, multiplicamos todas as partes para encontrar $ P(X = 1) $:
P(X = 1)

Resposta

A probabilidade de Felipe acertar exatamente 1 das 4 questões é de aproximadamente 0,41 (ou 41%).

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