Felipe ficou sem tempo durante uma prova de múltipla escolha e vai tentar adivinhar as 4 últimas questões. Cada questão tem 5 alternativas possíveis, sendo apenas uma correta. Seja
o número de respostas que Felipe acerta nas últimas
questões. Assuma que os resultados dos seus chutes são independentes. Qual é a probabilidade de que ele acerte exatamente
das últimas
questões? Você pode arredondar sua resposta para duas casas decimais.
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Passo 1
Vamos entender o problema: o Felipe tem 4 questões de múltipla escolha para adivinhar, cada uma com 5 alternativas possíveis, sendo apenas uma correta. Queremos calcular a probabilidade de ele acertar exatamente 1 dessas 4 questões. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que nos ajudam a determinar a chance de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar duas coisas importantes:
- Número de tentativas (n): Neste caso, Felipe está tentando responder 4 questões, então $ n = 4 $.
- Probabilidade de sucesso em cada tentativa §: Como há apenas uma resposta correta entre 5 alternativas, a chance de acertar uma questão ao adivinhar é $ p = \frac{1}{5} = 0,2 $.
Passo 3
Queremos saber a probabilidade de exatamente 1 acerto nas 4 tentativas. Usamos a fórmula da probabilidade binomial:
onde:
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ a $ k $ (também chamado de “coeficiente binomial”),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa,
- $ k $ é o número de sucessos desejados.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Coeficiente binomial $ C(4, 1) $:
- Probabilidade de sucesso elevada a $ k $:
- Probabilidade de insucesso elevada a $ n - k $:
Passo 5
Agora, multiplicamos todas as partes para encontrar $ P(X = 1) $:
Resposta
A probabilidade de Felipe acertar exatamente 1 das 4 questões é de aproximadamente 0,41 (ou 41%).