Um ferimento está cicatrizando de tal forma que
dias a partir de segunda feira, a área da ferida decresce a uma taxa de
por dia. Se na
terça-feira a área do ferimento for de
, qual teria sido a sua área na segundafeira? Além disso, qual a área prevista na sexta-feira, se o ferimento continuar a cicatrizar na mesma taxa?
terça-feira a área do ferimento for de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre como a área de um ferimento está cicatrizando ao longo dos dias. A taxa de mudança da área da ferida em relação ao tempo é dada pela fórmula
, onde
é o número de dias a partir de segunda-feira. Nosso objetivo é descobrir:
- Qual era a área da ferida na segunda-feira.
- Qual será a área prevista na sexta-feira, caso continue cicatrizando na mesma taxa.
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente a integração, para encontrar a função da área
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos foi dada:
. Isso representa a taxa de mudança da área da ferida ao longo do tempo. Para encontrar a função
, precisamos integrar essa taxa em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a taxa de mudança:
Para integrar
, fazemos uma substituição simples. Sabemos que a integral de
é
com um sinal negativo. Portanto:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, usamos a condição que nos foi dada: na terça-feira,
(já que
é segunda-feira), e a área
.
Substituindo na equação:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos a constante, podemos escrever a função completa para a área da ferida:
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a área na segunda-feira, que corresponde a
:
Passo 7
Agora, vamos prever a área na sexta-feira. Segunda-feira é
, então sexta-feira é
.
Resposta
Na segunda-feira, a área da ferida era de
e na sexta-feira, a área prevista é de
.
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Efetue a antiderivação em cada uma das funções abaixo.
Encontre a solução completa da equação diferencial
.
Um ponto descreve um movimento retilíneo, tal que
. Se as condições iniciais são
e
, determine
.
Qual a solução da equação diferencial
, sabendo que
e
.