Para uma festa de aniversário são encomendados 107 refrigerantes, 95 sanduíches, 113 salgadinhos e 151 doces. Serão servidos a cada adulto, 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces; e a cada adolescente, 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces; a cada criança, 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces. Para que não sobrem nem faltem refrigerantes, sanduíches, salgadinhos e doces, qual o número de pessoas que devem ser convidadas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma festa de aniversário onde foram comprados diferentes alimentos e bebidas. Precisamos descobrir quantas pessoas (adultos, adolescentes e crianças) devem ser convidadas para que tudo seja suficiente, sem faltar ou sobrar nada. Para isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada pessoa consome:
  • Adulto: 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces.
  • Adolescente: 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces.
  • Criança: 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces.
Vamos representar o número de adultos, adolescentes e crianças por , e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos montar as equações com base no consumo total e no que foi comprado:
  1. Refrigerantes:
3A + 2T + 2C = 107
  1. Sanduíches:
3A + 2T + 1C = 95
  1. Salgadinhos:
3A + 5T = 113
(Perceba que crianças não consomem salgadinhos, então 3A + 4T + 4C = 151 não aparece nessa equação.)
  1. Doces:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiramente, vamos simplificar o sistema usando as equações de salgadinhos e sanduíches para encontrar uma relação entre 3A + 5T = 113 e 3A + 2T + C = 95 .
Da equação dos salgadinhos:
Vamos chamar essa Equação (3).
Da equação dos sanduíches:
Vamos chamar essa Equação (2).

Passo 5

Vamos eliminar uma variável para simplificar. Vamos subtrair a Equação (2) da Equação (1) para eliminar (3A + 2T + 2C) - (3A + 2T + C) = 107 - 95 :
0A + 0T + C = 12
C = 12
Agora sabemos que há 12 crianças na festa.

Passo 6

Com 3A + 2T + 12 = 95 , vamos voltar à Equação (2):
3A + 2T = 83
Subtraindo 12 de ambos os lados:
Vamos chamar essa Equação (5).

Passo 7

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
  1. Equação (3):
3A + 5T = 113
  1. Equação (5):
3A + 2T = 83
Vamos subtrair a Equação (5) da Equação (3) para eliminar (3A + 5T) - (3A + 2T) = 113 - 83 :
0A + 3T = 30
T = 10
Agora sabemos que há 10 adolescentes na festa.

Passo 8

Com 3A + 2(10) = 83 , vamos substituir na Equação (5):
3A + 20 = 83
3A = 63
Subtraindo 20 de ambos os lados:
A = 21
Dividindo por 3:
Então, temos 21 adultos na festa.

Passo 9

Agora que já encontramos 3(21) + 4(10) + 4(12) = 63 + 40 + 48 = 151 , e , vamos verificar se esses valores satisfazem a equação dos doces:
Está tudo certo!

Resposta

Para que não sobrem nem faltem alimentos e bebidas na festa, devem ser convidados 21 adultos, 10 adolescentes e 12 crianças, totalizando 43 pessoas.

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