Para uma festa de aniversário são encomendados 107 refrigerantes, 95 sanduíches, 113 salgadinhos e 151 doces. Serão servidos a cada adulto, 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces; e a cada adolescente, 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces; a cada criança, 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces. Para que não sobrem nem faltem refrigerantes, sanduíches, salgadinhos e doces, qual o número de pessoas que devem ser convidadas?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma festa de aniversário onde foram comprados diferentes alimentos e bebidas. Precisamos descobrir quantas pessoas (adultos, adolescentes e crianças) devem ser convidadas para que tudo seja suficiente, sem faltar ou sobrar nada. Para isso, vamos usar um pouco de matemática, especificamente sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada pessoa consome:
- Adulto: 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces.
- Adolescente: 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces.
- Criança: 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces.
Vamos representar o número de adultos, adolescentes e crianças por
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos montar as equações com base no consumo total e no que foi comprado:
- Refrigerantes:
- Sanduíches:
- Salgadinhos:
(Perceba que crianças não consomem salgadinhos, então
não aparece nessa equação.)
- Doces:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações passo a passo. Primeiramente, vamos simplificar o sistema usando as equações de salgadinhos e sanduíches para encontrar uma relação entre
e
.
Da equação dos salgadinhos:
Vamos chamar essa Equação (3).
Da equação dos sanduíches:
Vamos chamar essa Equação (2).
Passo 5
Vamos eliminar uma variável para simplificar. Vamos subtrair a Equação (2) da Equação (1) para eliminar
:
Agora sabemos que há 12 crianças na festa.
Passo 6
Com
, vamos voltar à Equação (2):
Subtraindo 12 de ambos os lados:
Vamos chamar essa Equação (5).
Passo 7
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
- Equação (3):
- Equação (5):
Vamos subtrair a Equação (5) da Equação (3) para eliminar
:
Agora sabemos que há 10 adolescentes na festa.
Passo 8
Com
, vamos substituir na Equação (5):
Subtraindo 20 de ambos os lados:
Dividindo por 3:
Então, temos 21 adultos na festa.
Passo 9
Agora que já encontramos
,
e
, vamos verificar se esses valores satisfazem a equação dos doces:
Está tudo certo!
Resposta
Para que não sobrem nem faltem alimentos e bebidas na festa, devem ser convidados 21 adultos, 10 adolescentes e 12 crianças, totalizando 43 pessoas.
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