Resolva os sistemas abaixo por escalonamento.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos um sistema de três equações com quatro variáveis (, , , ). Vamos resolver esse sistema usando o **método de escalonamento**, que ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma **matriz aumentada**. Isso facilita as operações que vamos realizar para resolver o sistema. O sistema dado é: A matriz aumentada correspondente fica assim:

Passo 3

Agora, vamos usar **operações de linha** para simplificar a matriz. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o "pivot" da coluna). - **Eliminando o primeiro elemento da segunda linha:** Subtraia a primeira linha da segunda linha (Linha2 - Linha1): A nova segunda linha fica: - **Eliminando o primeiro elemento da terceira linha:** Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha (Linha3 - 2 × Linha1): A nova terceira linha fica: A matriz agora é:

Passo 4

Para facilitar os próximos passos, vamos **trocar a segunda e a terceira linhas**. Isso coloca um número diferente de zero mais à esquerda na segunda linha, o que ajuda na escalonagem. Após a troca, a matriz fica:

Passo 5

Vamos resolver as equações de baixo para cima. - **Da terceira linha:**

Passo 6

- **Da segunda linha:**

Passo 7

- **Da primeira linha:** Substituindo e nas equações:

Resposta

As soluções do sistema são todas as combinações onde é um número real. Portanto, temos:

Exercícios relacionados

Para uma festa de aniversário são encomendados 107 refrigerantes, 95 sanduíches, 113 salgadinhos e 151 doces. Serão servidos a cada adulto, 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces; e a cada adolescente, 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces; a cada criança, 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces. Para que não sobrem nem faltem refrigerantes, sanduíches, salgadinhos e doces, qual o número de pessoas que devem ser convidadas?
Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham: O conjunto de todos os números reais com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar.
Sejam uma matriz de ordem e a n-úpla que possui todas as coordenadas nulas, com exceção da -ésima, que é 1 . Mostre que , isto é, a -ésima linha da matriz , e que , isto é, a -ésima coluna da matriz .