Resolva os sistemas abaixo por escalonamento.
lx+y+z+t=0 x+y-2 z+t=0 2 x+y+2 z-t=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos um sistema de três equações com quatro variáveis ( x, y, z, t). Vamos resolver esse sistema usando o método de escalonamento, que ajuda a simplificar as equações passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Isso facilita as operações que vamos realizar para resolver o sistema. O sistema dado é:
x + y + z + t = 0 x + y - 2z + t = 0 2x + y + 2z - t = 0
A matriz aumentada correspondente fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & -2 & 1 & | & 0 2 & 1 & 2 & -1 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linha para simplificar a matriz. O objetivo é obter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (o “pivot” da coluna).
  • Eliminando o primeiro elemento da segunda linha:
    Subtraia a primeira linha da segunda linha (Linha2 - Linha1):
    1 - 1 &= 0 1 - 1 &= 0 -2 - 1 &= -3 1 - 1 &= 0
    A nova segunda linha fica:
    [0 0 -3 0 | 0]
  • Eliminando o primeiro elemento da terceira linha:
    Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha (Linha3 - 2 × Linha1):
    2 - 2 times 1 &= 0 1 - 2 times 1 &= -1 2 - 2 times 1 &= 0 -1 - 2 times 1 &= -3
    A nova terceira linha fica:
    [0 -1 0 -3 | 0]
A matriz agora é:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & -3 & 0 & | & 0 0 & -1 & 0 & -3 & | & 0

Passo 4

Para facilitar os próximos passos, vamos trocar a segunda e a terceira linhas. Isso coloca um número diferente de zero mais à esquerda na segunda linha, o que ajuda na escalonagem.
Após a troca, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -1 & 0 & -3 & | & 0 0 & 0 & -3 & 0 & | & 0

Passo 5

Vamos resolver as equações de baixo para cima.
  • Da terceira linha:
    -3z = 0 Rightarrow z = 0

Passo 6

  • Da segunda linha:
    -y - 3t = 0 Rightarrow y = -3t

Passo 7

  • Da primeira linha:
    Substituindo y e z nas equações:
    x + y + z + t = 0 x - 3t + 0 + t = 0 x - 2t = 0 Rightarrow x = 2t

Resposta

As soluções do sistema são todas as combinações onde t é um número real. Portanto, temos:
x = 2t y = -3t z = 0 t = t (com t in R)

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