Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham: O conjunto de todos os números reais com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o conjunto de todos os números reais, com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e conferir se todas as regras (axiomas) que definem um espaço vetorial são cumpridas nesse conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de elementos (neste caso, os números reais) que pode ser “manipulado” usando duas operações: adição e multiplicação por escalar, de maneira que certas regras sejam obedecidas. Essas regras são chamadas de axiomas.
Passo 3
Vamos listar os axiomas que precisamos verificar para confirmar se nosso conjunto é realmente um espaço vetorial:
Comutatividade da adição:
Associatividade da adição:
Existência do elemento neutro da adição: Existe um vetor tal que para todo
Existência de inversos aditivos: Para todo vetor , existe um vetor tal que
Distributividade do escalar em relação à adição de vetores:
Distributividade do escalar em relação à adição de escalares:
Associatividade da multiplicação por escalar:
Existência do escalar neutro:
Passo 4
Agora, vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto dos números reais com as operações padrão.
Comutatividade da adição: Para quaisquer números reais e , . Isso é verdadeiro porque a adição de números reais é comutativa.
Associatividade da adição: Para quaisquer números reais , e , . Isso também é verdadeiro pela associatividade da adição nos reais.
Existência do elemento neutro da adição: O número é o elemento neutro, pois para qualquer real.
Existência de inversos aditivos: Para cada número real , existe tal que . Isso é verdade nos reais.
Distributividade do escalar em relação à adição de vetores: Para um escalar e vetores e , . Nos reais, isso é válido porque .
Distributividade do escalar em relação à adição de escalares: Para escalares e e um vetor , . Nos reais, .
Associatividade da multiplicação por escalar: Para escalares e e um vetor , . Isso é verdadeiro nos reais.
Existência do escalar neutro: O número é o escalar neutro, pois para qualquer real.
Resposta
Sim, o conjunto de todos os números reais com as operações padrão de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial, pois satisfaz todos os axiomas necessários.