Em fevereiro de 2004, os cientistas da Purdue University usaram uma técnica altamente sensível para medir a massa do vaccinia vírus (o tipo de vírus usado na vacina contra
varíola). O procedimento envolvia medir a frequência de oscilação de um minúsculo pedaço de silício (com apenas 30 nm de comprimento) com um laser, primeiro sem o vírus e depois quando ele estivesse preso ao silício. A diferença na massa causava uma variação na frequência. Podemos modelar esse processo como uma certa massa sobre uma dada mola. (a) Mostre que a razão entre a frequência com o vírus preso (fS+V) e a frequência sem o vírus ( fS ) é dada por
, onde mV é a massa do vírus e mS é a massa do pedaço de silício. Observe que não é necessário saber ou medir a constante de força da mola. (b) Em alguns dados, o pedaço de silício tem uma massa de
e uma frequência de
sem o vírus e
com o vírus. Qual é a massa do vírus, em gramas?
varíola). O procedimento envolvia medir a frequência de oscilação de um minúsculo pedaço de silício (com apenas 30 nm de comprimento) com um laser, primeiro sem o vírus e depois quando ele estivesse preso ao silício. A diferença na massa causava uma variação na frequência. Podemos modelar esse processo como uma certa massa sobre uma dada mola. (a) Mostre que a razão entre a frequência com o vírus preso (fS+V) e a frequência sem o vírus ( fS ) é dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre medir a massa de um vírus usando a variação na frequência de oscilação de um pedacinho de silício, modelado como um sistema massa-mola. A matéria envolvida aqui é Física, mais especificamente sobre oscilações em sistemas massa-mola. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam a frequência de oscilação com a massa e a constante da mola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a frequência de um sistema massa-mola. A fórmula para a frequência de oscilação
é dada por:
onde:
-
é a frequência, -
é a constante da mola, -
é a massa.
Passo 3
No sistema sem o vírus, temos uma massa
(massa do silício) e uma frequência
. Com o vírus preso, a massa total passa a ser
(onde
é a massa do vírus) e a frequência muda para
.
Então, podemos escrever as duas equações de frequência:
Passo 4
Queremos encontrar a razão entre as frequências
. Vamos dividir as duas equações:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Isso mostra que a razão entre as frequências é:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a massa do vírus
. Temos os seguintes dados:
- Massa do silício
- Frequência sem o vírus
- Frequência com o vírus
Primeiro, vamos usar a relação que encontramos:
Passo 7
Vamos isolar
. Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Invertendo os dois lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores:
Elevando ao quadrado:
Então:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Calculando:
Resposta
A massa do vírus é aproximadamente
.