Em fevereiro de 2004, os cientistas da Purdue University usaram uma técnica altamente sensível para medir a massa do vaccinia vírus (o tipo de vírus usado na vacina contra
varíola). O procedimento envolvia medir a frequência de oscilação de um minúsculo pedaço de silício (com apenas 30 nm de comprimento) com um laser, primeiro sem o vírus e depois quando ele estivesse preso ao silício. A diferença na massa causava uma variação na frequência. Podemos modelar esse processo como uma certa massa sobre uma dada mola. (a) Mostre que a razão entre a frequência com o vírus preso (fS+V) e a frequência sem o vírus ( fS ) é dada por fS+VfS=1raiz1+( ^mV / mS), onde mV é a massa do vírus e mS é a massa do pedaço de silício. Observe que não é necessário saber ou medir a constante de força da mola. (b) Em alguns dados, o pedaço de silício tem uma massa de 2,10 times 10^-16 g e uma frequência de 2,00 times 10^15 Hz sem o vírus e 2,87 times 10^14 Hz com o vírus. Qual é a massa do vírus, em gramas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre medir a massa de um vírus usando a variação na frequência de oscilação de um pedacinho de silício, modelado como um sistema massa-mola. A matéria envolvida aqui é Física, mais especificamente sobre oscilações em sistemas massa-mola. Para resolver, vamos precisar das fórmulas que relacionam a frequência de oscilação com a massa e a constante da mola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a frequência de um sistema massa-mola. A fórmula para a frequência de oscilação f = 12pi raizkm é dada por:
onde:
  • é a frequência,
  • é a constante da mola,
  • é a massa.

Passo 3

No sistema sem o vírus, temos uma massa fS = 12pi raizkmS (massa do silício) e uma frequência fS+V = 12pi raizkmS + mV . Com o vírus preso, a massa total passa a ser (onde é a massa do vírus) e a frequência muda para .
Então, podemos escrever as duas equações de frequência:

Passo 4

Queremos encontrar a razão entre as frequências fS+VfS = 12pi raizkmS + mV12pi raizkmS = raiz1mS + mVraiz1mS . Vamos dividir as duas equações:

Passo 5

Simplificando a expressão:
fS+VfS = raizmSmS + mV = 1raiz1 + mVmS
Isso mostra que a razão entre as frequências é:
fS+VfS = 1raiz1 + (mVmS)

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a massa do vírus fS+VfS = 1raiz1 + mVmS . Temos os seguintes dados:
  • Massa do silício
  • Frequência sem o vírus
  • Frequência com o vírus
Primeiro, vamos usar a relação que encontramos:

Passo 7

Vamos isolar (fS+VfS)^2 = 11 + mVmS . Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
1 + mVmS = 1(fS+VfS)^2
Invertendo os dois lados:
mVmS = 1(fS+VfS)^2 - 1
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores:
fS+VfS = 2,87 times 10^142,00 times 10^15 = 0,1435
Elevando ao quadrado:
(0,1435)^2 = 0,0206
Então:
mVmS = 10,0206 - 1 approx 48,54

Passo 9

Agora, isolamos mV = 48,54 times mS = 48,54 times 2,10 times 10^-16 , g :
mV approx 1,019 times 10^-14 , g
Calculando:

Resposta

A massa do vírus é aproximadamente .

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