Na Fig. 14-34, a água está em repouso com uma profundidade D =35,0 m atrás da face vertical de um dique de largura W=314 m. Encontre (a) a força horizontal resultante sobre o dique devida à pressão manométrica da água e (b) o torque resultante devido a esta força em torno da linha que passa por O, paralela à largura do dique. © Encontre o braço de alavanca deste torque.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde a água está parada atrás de um dique vertical. A profundidade da água é de D = 35,0 , m e a largura do dique é W = 314 , m. O que a gente precisa encontrar são três coisas:
a) A força horizontal total no dique devido à pressão da água.
b) O torque resultante dessa força em torno de um ponto O.
c) O braço de alavanca desse torque.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática, força resultante e torque. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Encontrar a força horizontal resultante no dique devido à pressão da água.
Primeiro, precisamos entender como a pressão da água varia com a profundidade. A pressão hidrostática ( p) em um ponto a uma profundidade h é dada por:
p = rho cdot g cdot h
Onde:
  • rho é a densidade da água (aproximadamente 1000 , kg/m^3),
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,81 , m/s^2),
  • h é a profundidade no ponto considerado.
A força diferencial ( dF) em uma faixa de altura dh no dique é:
dF = p cdot W cdot dh = rho cdot g cdot h cdot W cdot dh
Para encontrar a força total ( F), integramos dF de h=0 até h=D:
F = integral0^D rho cdot g cdot h cdot W cdot dh = rho cdot g cdot W cdot integral0^D h , dh
Resolvendo a integral:
integral0^D h , dh = D^22
Portanto:
F = rho cdot g cdot W cdot D^22
Agora, substituindo os valores:
F = 1000 , kg/m^3 cdot 9,81 , m/s^2 cdot 314 , m cdot (35,0 , m)^22
Calculando os números:
F = 1000 cdot 9,81 cdot 314 cdot 12252
F = 1000 cdot 9,81 cdot 314 cdot 612,5
F approx 1,88 times 10^9 , N

Passo 3

b) Calcular o torque resultante devido a essa força em torno do ponto O.
Torque ( tau) é a força multiplicada pela distância perpendicular da linha de ação da força até o ponto de rotação. No caso de pressão hidrostática, a força resultante age no centro de pressão, que, para um dique vertical, está localizado a uma altura de h = D2 do fundo.
Então, o torque é:
tau = F cdot D2
Substituindo os valores:
tau = 1,88 times 10^9 , N cdot 35,0 , m2
tau = 1,88 times 10^9 , N cdot 17,5 , m
$tau approx 3,29 times 10^10 , Ncdotm$

Passo 4

c) Determinar o braço de alavanca desse torque.
O braço de alavanca ( r) é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto de rotação. Como vimos no passo anterior, a força resultante age a uma altura de D2.
Portanto:
r = D2 = 35,0 , m2 = 17,5 , m

Resposta

a) A força horizontal resultante sobre o dique é aproximadamente 1,88 times 10^9 , N.
b) O torque resultante em torno do ponto O é aproximadamente 3,29 times 10^10 , Ncdotm.
c) O braço de alavanca desse torque é 17,5 , m.

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