Na Fig. 14-34, a água está em repouso com uma profundidade atrás da face vertical de um dique de largura . Encontre (a) a força horizontal resultante sobre o dique devida à pressão manométrica da água e (b) o torque resultante devido a esta força em torno da linha que passa por , paralela à largura do dique. © Encontre o braço de alavanca deste torque.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma situação onde a água está parada atrás de um dique vertical. A profundidade da água é de e a largura do dique é . O que a gente precisa encontrar são três coisas:
a) A força horizontal total no dique devido à pressão da água.
b) O torque resultante dessa força em torno de um ponto .
c) O braço de alavanca desse torque.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de pressão hidrostática, força resultante e torque. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Encontrar a força horizontal resultante no dique devido à pressão da água.
Primeiro, precisamos entender como a pressão da água varia com a profundidade. A pressão hidrostática ( ) em um ponto a uma profundidade é dada por:
Onde:
  • é a densidade da água (aproximadamente ),
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a profundidade no ponto considerado.
A força diferencial ( ) em uma faixa de altura no dique é:
Para encontrar a força total ( ), integramos de até :
Resolvendo a integral:
Portanto:
Agora, substituindo os valores:
Calculando os números:

Passo 3

b) Calcular o torque resultante devido a essa força em torno do ponto .
Torque ( ) é a força multiplicada pela distância perpendicular da linha de ação da força até o ponto de rotação. No caso de pressão hidrostática, a força resultante age no centro de pressão, que, para um dique vertical, está localizado a uma altura de do fundo.
Então, o torque é:
Substituindo os valores:

Passo 4

c) Determinar o braço de alavanca desse torque.
O braço de alavanca ( ) é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o ponto de rotação. Como vimos no passo anterior, a força resultante age a uma altura de .
Portanto:

Resposta

a) A força horizontal resultante sobre o dique é aproximadamente .
b) O torque resultante em torno do ponto é aproximadamente .
c) O braço de alavanca desse torque é .

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