Qual seria a altura da atmosfera se a densidade do ar (a) fosse uniforme e (b) decrescesse linearmente até zero com a altura? Suponha que no nível do mar a pressão do ar é
e que a densidade do ar é
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física sobre a altura da atmosfera. A questão pergunta qual seria a altura da atmosfera em dois cenários diferentes: (a) com a densidade do ar sendo uniforme e (b) com a densidade do ar diminuindo linearmente até chegar a zero com a altura. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão, densidade e as leis que relacionam essas grandezas com a altura na atmosfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a pressão do ar diminui à medida que a gente sobe na atmosfera. No nível do mar, a pressão é de
e a densidade do ar é
. Precisamos descobrir até onde a atmosfera vai antes que a pressão chegue a zero.
Passo 3
Para o item (a), onde a densidade do ar é uniforme, podemos usar a relação da pressão com a altura em um fluido com densidade constante. A fórmula é:
Onde:
-
é a pressão em uma certa altura, -
é a pressão no nível do mar, -
é a densidade do ar, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a altura.
Passo 4
Queremos saber a altura
quando a pressão
chega a zero. Então, configuramos a equação:
Resolvendo para
:
Passo 5
Vamos substituir os valores fornecidos:
Então:
Passo 6
Para o item (b), onde a densidade do ar diminui linearmente até zero com a altura, precisamos considerar que a densidade varia com a altura. Podemos expressar a densidade como:
Onde
é a altura total da atmosfera.
Passo 7
A pressão em função da altura é obtida integrando a densidade multiplicada pela gravidade:
Integrando de
a
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A altura da atmosfera com densidade uniforme é aproximadamente 7.940 metros.
(b) A altura da atmosfera com densidade decrescendo linearmente até zero é aproximadamente 15.880 metros.
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