Qual seria a altura da atmosfera se a densidade do ar (a) fosse uniforme e (b) decrescesse linearmente até zero com a altura? Suponha que no nível do mar a pressão do ar é 1,0 atm e que a densidade do ar é 1,3 kg / m^3.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre a altura da atmosfera. A questão pergunta qual seria a altura da atmosfera em dois cenários diferentes: (a) com a densidade do ar sendo uniforme e (b) com a densidade do ar diminuindo linearmente até chegar a zero com a altura. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de pressão, densidade e as leis que relacionam essas grandezas com a altura na atmosfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a pressão do ar diminui à medida que a gente sobe na atmosfera. No nível do mar, a pressão é de 1,0 atm e a densidade do ar é 1,3 kg/m^3. Precisamos descobrir até onde a atmosfera vai antes que a pressão chegue a zero.

Passo 3

Para o item (a), onde a densidade do ar é uniforme, podemos usar a relação da pressão com a altura em um fluido com densidade constante. A fórmula é:
P = P0 - rho g h
Onde:
  • é a pressão em uma certa altura,
  • é a pressão no nível do mar,
  • é a densidade do ar,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura.

Passo 4

Queremos saber a altura 0 = P0 - rho g h quando a pressão h = P0rho g chega a zero. Então, configuramos a equação:
Resolvendo para :

Passo 5

Vamos substituir os valores fornecidos:
P0 = 1,0 , atm = 101325 , Pa rho = 1,3 , kg/m^3 g = 9,81 , m/s^2
Então:
h = 101325 , Pa1,3 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 approx 10132512,753 approx 7940 , m

Passo 6

Para o item (b), onde a densidade do ar diminui linearmente até zero com a altura, precisamos considerar que a densidade varia com a altura. Podemos expressar a densidade como:
rho(h) = rho0 (1 - hH)
Onde é a altura total da atmosfera.

Passo 7

A pressão em função da altura é obtida integrando a densidade multiplicada pela gravidade:
dPdh = -rho(h) g = -rho0 g (1 - hH)
Integrando de P0 = integral0^H rho0 g (1 - hH) dh = rho0 g [ h - h^22H ]0^H = rho0 g (H - H2) = rho0 g H2 a :

Passo 8

Resolvendo para H = 2 P0rho0 g :

Passo 9

Substituindo os valores:
H = 2 times 101325 , Pa1,3 , kg/m^3 times 9,81 , m/s^2 approx 20265012,753 approx 15880 , m

Resposta

(a) A altura da atmosfera com densidade uniforme é aproximadamente 7.940 metros.
(b) A altura da atmosfera com densidade decrescendo linearmente até zero é aproximadamente 15.880 metros.

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