In Fig. 8-31, a small block of mass can slide along the frictionless loop-the-loop, with loop radius . The block is released from rest at point , at height above the bottom of the loop. If the gravitational potential energy of the block-Earth system is taken to be zero at the bottom of the loop, what is that potential energy when the block is at point ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um bloco pequeno com massa que pode deslizar sem atrito em um loop sem atrito de raio . O bloco é solto do repouso no ponto , que está a uma altura acima da base do loop. Queremos descobrir qual é a energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra quando o bloco está no ponto , sabendo que a energia potencial é zero na base do loop.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos considerar as alturas relativas e usar a fórmula da energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos. O raio do loop é . A altura inicial é .

Passo 3

A energia potencial gravitacional ( ) é dada pela fórmula:
onde:
  • é a massa,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura em relação ao ponto de referência.

Passo 4

No ponto , onde o bloco é solto, a energia potencial gravitacional é:

Passo 5

Calculando :
Essa é a energia potencial inicial do bloco no ponto .

Passo 6

Quando o bloco chega no ponto , que está na base do loop, a altura (já que a energia potencial é definida como zero na base). Portanto, a energia potencial gravitacional no ponto é:

Resposta

A energia potencial gravitacional do bloco quando está no ponto é .

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