In Fig. 8-31, a small block of mass
can slide along the frictionless loop-the-loop, with loop radius
. The block is released from rest at point
, at height
above the bottom of the loop. How much work does the gravitational force do on the block as the block travels from point
to point
?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão pede e entender os conceitos que vamos usar. Temos um bloco pequenininho com massa de
que pode deslizar sem atrito por um loop com raio
(ou seja,
). O bloco começa parado no ponto
, que está a uma altura
acima do fundo do loop. A pergunta é: quanto trabalho a força da gravidade realiza no bloco quando ele vai de
até
?
Vamos precisar entender conceitos de trabalho realizado por uma força e energia potencial gravitacional para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho (
) realizado por uma força é dado por:
Onde:
-
é a força aplicada, -
é o deslocamento, -
é o ângulo entre a força e o deslocamento.
No caso da gravidade, a força é
, onde
é a aceleração da gravidade. A direção da força da gravidade é sempre para baixo.
Passo 3
Contudo, em trajetórias curvas como a do loop-the-loop, o deslocamento não é apenas vertical. Mas, uma forma mais fácil de calcular o trabalho realizado pela gravidade é usando a energia potencial gravitacional (
).
A variação de energia potencial da gravidade entre dois pontos é igual ao trabalho que a gravidade realiza:
Onde:
-
, -
é a altura acima de uma referência (neste caso, o fundo do loop).
Passo 4
Vamos calcular as alturas nos pontos
e
.
- No ponto
, a altura é . - No ponto
, que é o topo do loop, a altura é .
Passo 5
Agora, calculamos as energias potenciais nos pontos
e
:
Passo 6
A variação da energia potencial é:
Esse valor negativo indica que a energia potencial diminuiu, ou seja, a gravidade realizou um trabalho positivo na movimentação do bloco de
até
.
Resposta
O trabalho realizado pela força da gravidade é de aproximadamente
.