In Fig. 8-31, a small block of mass m=0.032 kg can slide along the frictionless loop-the-loop, with loop radius R=12 cm. The block is released from rest at point P, at height h=5.0 R above the bottom of the loop. How much work does the gravitational force do on the block as the block travels from point P to point Q?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede e entender os conceitos que vamos usar. Temos um bloco pequenininho com massa de m = 0,032 , kg que pode deslizar sem atrito por um loop com raio R = 12 , cm (ou seja, 0,12 , m). O bloco começa parado no ponto P, que está a uma altura h = 5,0R acima do fundo do loop. A pergunta é: quanto trabalho a força da gravidade realiza no bloco quando ele vai de P até Q?
Vamos precisar entender conceitos de trabalho realizado por uma força e energia potencial gravitacional para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho ( W) realizado por uma força é dado por:
W = F cdot d cdot cos(theta)
Onde:
  • F é a força aplicada,
  • d é o deslocamento,
  • theta é o ângulo entre a força e o deslocamento.
No caso da gravidade, a força é F = m cdot g, onde g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade. A direção da força da gravidade é sempre para baixo.

Passo 3

Contudo, em trajetórias curvas como a do loop-the-loop, o deslocamento não é apenas vertical. Mas, uma forma mais fácil de calcular o trabalho realizado pela gravidade é usando a energia potencial gravitacional ( U).
A variação de energia potencial da gravidade entre dois pontos é igual ao trabalho que a gravidade realiza:
W = De
Onde:
  • U = m cdot g cdot h,
  • h é a altura acima de uma referência (neste caso, o fundo do loop).

Passo 4

Vamos calcular as alturas nos pontos P e Q.
  • No ponto P, a altura é hP = 5,0R = 5,0 times 0,12 , m = 0,60 , m.
  • No ponto Q, que é o topo do loop, a altura é hQ = 2R = 2 times 0,12 , m = 0,24 , m.

Passo 5

Agora, calculamos as energias potenciais nos pontos P e Q:
UP = m cdot g cdot hP = 0,032 , kg times 9,8 , m/s^2 times 0,60 , m = 0,18816 , J
UQ = m cdot g cdot hQ = 0,032 , kg times 9,8 , m/s^2 times 0,24 , m = 0,075264 , J

Passo 6

A variação da energia potencial é:
De
Esse valor negativo indica que a energia potencial diminuiu, ou seja, a gravidade realizou um trabalho positivo na movimentação do bloco de P até Q.

Resposta

O trabalho realizado pela força da gravidade é de aproximadamente -0,113 , J.

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