In Fig. 8-31, a small block of mass can slide along the frictionless loop-the-loop, with loop radius . The block is released from rest at point , at height above the bottom of the loop. How much work does the gravitational force do on the block as the block travels from point to (a) point and (b) the top of the loop? If the gravitational potential energy of the block-Earth system is taken to be zero at the bottom of the loop, what is that potential energy when the block is © at point , (d) at point , and (e) at the top of the loop? (f) If, instead of merely being released, the block is given some initial speed downward along the track, do the answers to (a) through (e) increase, decrease, or remain the same?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de física! Temos um bloco pequenininho com massa que pode deslizar sem atrito dentro de um loop com raio . O bloco é solto do ponto , que está a uma altura acima do fundo do loop. A gente precisa calcular o trabalho que a força da gravidade faz no bloco enquanto ele se move de para , de até o topo do loop, e também determinar a energia potencial gravitacional em vários pontos. Além disso, vamos ver o que muda se o bloco tiver uma velocidade inicial para baixo. Vamos precisar dos conceitos de trabalho da força gravitacional e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o trabalho da força gravitacional. O trabalho ( ) é dado pela fórmula:
No caso da gravidade, a força é (com ) e o deslocamento é a diferença de altura. Como a força da gravidade atua na direção vertical, o ângulo é 0°, e . Então, o trabalho realizado pela gravidade quando o bloco desce é:

Passo 3

Vamos calcular a diferença de altura ( ) para cada parte:
(a) De para :
  • Altura inicial
  • Altura final (já que está a uma altura igual ao raio)
  • Então,
(b) De até o topo do loop:
  • Altura final no topo do loop
  • Então,

Passo 4

Agora, vamos transformar o raio de centímetros para metros:

Passo 5

Vamos calcular o trabalho da gravidade para cada caso:
(a) De para :
(b) De até o topo do loop:

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional ( ) em cada ponto. A fórmula é:
Como o potencial é zero no fundo do loop, será a altura acima desse ponto.
© Potencial em :
(d) Potencial em :
(e) Potencial no topo do loop:

Passo 7

Por fim, vamos pensar no que acontece se o bloco tem uma velocidade inicial descendente. O trabalho da gravidade depende apenas da mudança na altura, não da velocidade inicial. Portanto, os valores de trabalho e energia potencial não mudam se o bloco já está se movendo para baixo quando começa.

Resposta

(a) O trabalho da gravidade de para é aproximadamente .
(b) O trabalho da gravidade de até o topo do loop é aproximadamente .
© A energia potencial em é aproximadamente .
(d) A energia potencial em é aproximadamente .
(e) A energia potencial no topo do loop é aproximadamente .
(f) Se o bloco tiver uma velocidade inicial para baixo, as respostas de (a) a (e) permanece as mesmas.

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In Fig. 8-31, a small block of mass can slide along the frictionless loop-the-loop, with loop radius . The block is released from rest at point , at height above the bottom of the loop. How much work does the gravitational force do on the block as the block travels from point to point ?
In Fig. 8-31, a small block of mass can slide along the frictionless loop-the-loop, with loop radius . The block is released from rest at point , at height above the bottom of the loop. If the gravitational potential energy of the block-Earth system is taken to be zero at the bottom of the loop, what is that potential energy when the block is at point ?
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