Na posição inicial faz um ângulo theta1 com a vertical. O fio do pêndulo atinge um pino que está cravado à distância x, na vertical do seu centro de oscilação, como mostra a Fig. 7-36. Determinar o ângulo theta2 entre o fio e a vertical quando o afastamento do peso oscilante é máximo para a direita.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre pêndulos. A questão descreve um pêndulo que inicialmente faz um ângulo com a vertical. À medida que oscila, o fio do pêndulo bate em um pino posicionado a uma distância da vertical do ponto de equilíbrio. Nosso objetivo é determinar o novo ângulo que o fio faz com a vertical quando o afastamento do peso é máximo para a direita. Para isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e o princípio de que o comprimento efetivo do pêndulo muda após o encontro com o pino.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que antes de bater no pino, o comprimento do pêndulo é . Quando o fio atinge o pino, o novo comprimento efetivo do pêndulo passa a ser . Esse novo comprimento afetará a energia potencial e a amplitude das oscilações.

Passo 3

A energia mecânica total do pêndulo é conservada se não houver atrito. Na posição mais alta da oscilação inicial, toda a energia é potencial e pode ser expressa como:
Einicial = m g L (1 - cos theta1)
onde é a massa do pêndulo e é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Quando o pêndulo bate no pino e passa a oscilar com o novo comprimento Efinal = m g L' (1 - cos theta2) , a energia na nova posição máxima Einicial = Efinal também é potencial:
Como a energia é conservada:

Passo 5

Igualando as duas expressões de energia:
m g L (1 - cos theta1) = m g (L - x) (1 - cos theta2)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por L (1 - cos theta1) = (L - x) (1 - cos theta2) :

Passo 6

Isolando 1 - cos theta2 = LL - x (1 - cos theta1) :
cos theta2 = 1 - LL - x (1 - cos theta1)
Agora, resolvemos para :

Passo 7

Finalmente, encontramos o ângulo theta2 = arccos (1 - LL - x (1 - cos theta1)) :

Resposta

O ângulo theta2 = arccos (1 - LL - x (1 - cos theta1)) é dado por:

Exercícios relacionados