In Fig. 8-53, a block slides along a path that is without friction until the block reaches the section of length , which begins at height on a ramp of angle . In that section, the coefficient of kinetic friction is 0.40. The block passes through point with a speed of . If the block can reach point (where the friction ends), what is its speed there, and if it cannot, what is its greatest height above ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco que desliza sem atrito até chegar em uma seção de comprimento que começa na altura em uma rampa com ângulo . Nessa seção, o coeficiente de atrito cinético é . O bloco passa pelo ponto com uma velocidade de . Queremos descobrir se o bloco consegue chegar até o ponto (onde o atrito termina). Se conseguir, qual será sua velocidade em ; se não, qual será a maior altura que ele atinge acima de .
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, trabalho e forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia do bloco no ponto . Ele tem energia cinética devido à sua velocidade .
A energia cinética ( ) é dada por:
onde é a massa do bloco.

Passo 3

Enquanto o bloco se move pela seção de comprimento da rampa, ele sofre a ação da força de atrito e da componente do peso que atua contra o movimento.
A força de atrito cinético ( ) é:
onde é a força normal.
Como a rampa está inclinada com ângulo , a força normal é:
Então:

Passo 4

Além da força de atrito, a componente do peso na direção do movimento é:
Portanto, a força total que age contra o movimento do bloco é a soma dessas duas forças:

Passo 5

O trabalho realizado pelas forças contrárias ao movimento ( ) ao longo da distância é:
Esse trabalho reduz a energia cinética do bloco.

Passo 6

Vamos aplicar o princípio da conservação de energia. A energia inicial no ponto mais a energia potencial na altura será igual à energia final no ponto menos o trabalho realizado pelas forças contrárias.
A energia potencial gravitacional ( ) na altura é:
Portanto:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por :
Nosso objetivo é encontrar . Rearranjando a equação:

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Calculando passo a passo:
  1. e
Agora, substituindo:

Resposta

A velocidade do bloco no ponto é aproximadamente . Portanto, o bloco consegue atingir o ponto com essa velocidade.

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