In Fig. 8-53, a block slides along a path that is without friction until the block reaches the section of length L=0.75 m, which begins at height h=2.0 m on a ramp of angle theta=30^circ. In that section, the coefficient of kinetic friction is 0.40. The block passes through point A with a speed of 8.0 m / s. If the block can reach point B (where the friction ends), what is its speed there, and if it cannot, what is its greatest height above A?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco que desliza sem atrito até chegar em uma seção de comprimento que começa na altura em uma rampa com ângulo . Nessa seção, o coeficiente de atrito cinético é . O bloco passa pelo ponto com uma velocidade de . Queremos descobrir se o bloco consegue chegar até o ponto (onde o atrito termina). Se conseguir, qual será sua velocidade em ; se não, qual será a maior altura que ele atinge acima de .
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, trabalho e forças de atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia do bloco no ponto Ec = 12 m vA^2 . Ele tem energia cinética devido à sua velocidade .
A energia cinética ( ) é dada por:
onde é a massa do bloco.

Passo 3

Enquanto o bloco se move pela seção de comprimento Fat = mu N da rampa, ele sofre a ação da força de atrito e da componente do peso que atua contra o movimento.
A força de atrito cinético ( N = m g cos theta ) é:
Fat = mu m g cos theta
onde é a força normal.
Como a rampa está inclinada com ângulo , a força normal é:
Então:

Passo 4

Além da força de atrito, a componente do peso na direção do movimento é:
Fpeso = m g sin theta
Portanto, a força total que age contra o movimento do bloco é a soma dessas duas forças:
Ftotal = Fat + Fpeso = mu m g cos theta + m g sin theta

Passo 5

O trabalho realizado pelas forças contrárias ao movimento ( W = Ftotal times L = (mu m g cos theta + m g sin theta) L ) ao longo da distância é:
Esse trabalho reduz a energia cinética do bloco.

Passo 6

Vamos aplicar o princípio da conservação de energia. A energia inicial no ponto Ep = m g h mais a energia potencial na altura 12 m vA^2 + m g h = 12 m vB^2 + W será igual à energia final no ponto menos o trabalho realizado pelas forças contrárias.
A energia potencial gravitacional ( ) na altura é:
Portanto:

Passo 7

Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por 12 vA^2 + g h = 12 vB^2 + (mu g cos theta + g sin theta) L :
12 vB^2 = 12 vA^2 + g h - (mu g cos theta + g sin theta) L
Nosso objetivo é encontrar vB^2 = vA^2 + 2 g h - 2 (mu g cos theta + g sin theta) L . Rearranjando a equação:
vB = raizvA^2 + 2 g h - 2 g (mu cos theta + sin theta) L

Passo 8

Vamos substituir os valores numéricos na equação:
vB = raiz(8,0)^2 + 2 times 9,8 times 2,0 - 2 times 9,8 times (0,40 times cos 30^circ + sin 30^circ) times 0,75
Calculando passo a passo:
  1. vB = raiz64 + 39,2 - 12,45 = raiz90,2 approx 9,5 , m/s
  2. e
Agora, substituindo:

Resposta

A velocidade do bloco no ponto é aproximadamente . Portanto, o bloco consegue atingir o ponto com essa velocidade.

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