In Fig. 8-53, a block slides along a path that is without friction until the block reaches the section of length
, which begins at height
on a ramp of angle
. In that section, the coefficient of kinetic friction is 0.40. The block passes through point
with a speed of
. If the block can reach point
(where the friction ends), what is its speed there, and if it cannot, what is its greatest height above
?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um bloco que desliza sem atrito até chegar em uma seção de comprimento
que começa na altura
em uma rampa com ângulo
. Nessa seção, o coeficiente de atrito cinético é
. O bloco passa pelo ponto
com uma velocidade de
. Queremos descobrir se o bloco consegue chegar até o ponto
(onde o atrito termina). Se conseguir, qual será sua velocidade em
; se não, qual será a maior altura que ele atinge acima de
.
Para resolver, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, trabalho e forças de atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a energia do bloco no ponto
. Ele tem energia cinética devido à sua velocidade
.
A energia cinética (
) é dada por:
onde
é a massa do bloco.
Passo 3
Enquanto o bloco se move pela seção de comprimento
da rampa, ele sofre a ação da força de atrito e da componente do peso que atua contra o movimento.
A força de atrito cinético (
) é:
onde
é a força normal.
Como a rampa está inclinada com ângulo
, a força normal é:
Então:
Passo 4
Além da força de atrito, a componente do peso na direção do movimento é:
Portanto, a força total que age contra o movimento do bloco é a soma dessas duas forças:
Passo 5
O trabalho realizado pelas forças contrárias ao movimento (
) ao longo da distância
é:
Esse trabalho reduz a energia cinética do bloco.
Passo 6
Vamos aplicar o princípio da conservação de energia. A energia inicial no ponto
mais a energia potencial na altura
será igual à energia final no ponto
menos o trabalho realizado pelas forças contrárias.
A energia potencial gravitacional (
) na altura
é:
Portanto:
Passo 7
Podemos simplificar a equação dividindo todos os termos por
:
Nosso objetivo é encontrar
. Rearranjando a equação:
Passo 8
Vamos substituir os valores numéricos na equação:
Calculando passo a passo:
-
-
-
e -
-
Agora, substituindo:
Resposta
A velocidade do bloco no ponto
é aproximadamente
. Portanto, o bloco consegue atingir o ponto
com essa velocidade.