In Fig. 8-44, a spring with
is at the top of a frictionless incline of angle
. The lower end of the incline is distance
from the end of the spring, which is at its relaxed length. A 2.00 kg canister is pushed against the spring until the spring is compressed 0.200 m and released from rest. (a) What is the speed of the canister at the instant the spring returns to its relaxed length (which is when the canister loses contact with the spring)? (b) What is the speed of the canister when it reaches the lower end of the incline?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos uma mola presa no topo de um plano inclinado sem atrito. Quando a mola é comprimida e liberada, ela empurra uma lata de 2,00 kg para baixo do plano. Precisamos encontrar a velocidade da lata em dois momentos diferentes: quando a mola volta ao seu comprimento relaxado e quando a lata chega ao final do plano inclinado. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial elástica, energia cinética e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte (a): encontrar a velocidade da lata quando a mola retorna ao seu comprimento relaxado. Nesse ponto, a energia potencial armazenada na mola se converte em energia cinética da lata e energia potencial gravitacional devido à altura que a lata subiu no plano.
A energia potencial elástica da mola comprimida é dada por:
onde
é a constante da mola e
é a compressão.
A energia potencial gravitacional é:
onde
,
e
é a altura.
No ponto onde a mola volta ao comprimento relaxado, a lata se move para baixo uma distância
no plano inclinado. A altura
pode ser relacionada com a distância
e o ângulo
usando:
A energia cinética
da lata é:
Passo 3
Aplicando a conservação de energia, a energia inicial da mola comprimida será igual à soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional quando a mola retorna ao comprimento relaxado:
Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, substituindo os valores:
Calculando:
Primeiro, vamos calcular cada parte:
Então:
Resposta
A velocidade da lata no instante em que a mola retorna ao seu comprimento relaxado é aproximadamente
.