A Fig. 3 mostra uma caixa de massa em um plano sem atrito de inclinação . A caixa está ligada por um fio de massa desprezível a uma caixa de massa em uma superfície horizontal sem atrito. A polia é sem atrito e sem massa. (a) Se o módulo da força horizontal é , qual é a tensão no fio?

Passo 1

Então, temos duas caixas ligadas por um fio: uma de 3,0 kg sobre uma superfície horizontal sem atrito e outra de 1,0 kg (1000 g) em um plano inclinado de 30 graus sem atrito. Além disso, uma força horizontal de 2,3 N está sendo aplicada na caixa de 3,0 kg. Vamos usar os conceitos de dinâmica de sistemas ligados e forças em planos inclinados para descobrir qual é a tensão no fio.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada caixa. Na caixa de 3,0 kg (m₁), temos a força aplicada F = 2,3 N e a tensão T do fio puxando na direção oposta ao movimento. Já na caixa de 1,0 kg (m₂) no plano inclinado, temos a componente da gravidade que puxa para baixo do plano, que é m₂g sinθ, e a tensão T puxando para cima do plano.

Passo 3

Vamos considerar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração (F = ma). Para a caixa m₁, a força resultante é F - T, e para a caixa m₂, é T - m₂g sinθ. Como as duas caixas estão ligadas, elas terão a mesma aceleração.

Passo 4

Escrevemos as equações de movimento para cada caixa:
Para m₁: F - T = m₁a
Para m₂: T - m₂g sinθ = m₂a

Passo 5

Agora, resolvemos o sistema de equações para encontrar a aceleração (a) e a tensão (T). Primeiro, somamos as duas equações:
F - T + T - m₂g sinθ = m₁a + m₂a
Simplificando:
F - m₂g sinθ = (m₁ + m₂)a

Passo 6

Isolamos a aceleração:
a = (F - m₂g sinθ) / (m₁ + m₂)
Substituindo os valores:
g = 9,8 m/s²
θ = 30°
m₁ = 3,0 kg
m₂ = 1,0 kg
F = 2,3 N
a = (2,3 N - 1,0 kg * 9,8 m/s² * sin30°) / (3,0 kg + 1,0 kg)
a = (2,3 N - 1,0 * 9,8 * 0,5) / 4,0
a = (2,3 N - 4,9 N) / 4,0
a = (-2,6 N) / 4,0
a = -0,65 m/s²
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta à assumida inicialmente.

Passo 7

Agora, substituímos a aceleração encontrada em uma das equações para encontrar a tensão T. Vamos usar a equação para m₁:
F - T = m₁a
T = F - m₁a
T = 2,3 N - 3,0 kg * (-0,65 m/s²)
T = 2,3 N + 1,95 N
T = 4,25 N

Resposta

A tensão no fio é de aproximadamente 4,25 N.

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