Um sistema de radar detectou a trajetória de uma aeronave em relação à estação de radar como sendo, em unidades do Sistema Internacional
r(t)=(1,00.10-^2 t^3+0,100 t^2) i+(0,50.10-^2 t^3+0,200 t^2) j^wed>=+5,00.103 k^wed>=
C) A distância em relação à estação de radar e a direção na qual a aeronave poderia ser avistada no instante 100,0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a trajetória de uma aeronave detectada pelo radar, representada pela função vetorial . Nosso objetivo aqui é, no instante de 100,0 segundos, encontrar a distância da aeronave em relação à estação de radar e a direção na qual ela pode ser avistada. Para isso, vamos precisar entender como calcular a magnitude de um vetor (que nos dá a distância) e como determinar a direção a partir das componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da posição da aeronave no tempo r(t) = (1,00 times 10^2 t^3 + 0,100 t^2) i + (0,50 times 10^-2 t^3 + 0,200 t^2) j + 5,00 times 10^3 k s. A função vetorial é dada por:
Vamos substituir s em cada componente.

Passo 3

Calculando cada componente:
Para a componente x = 1,00 times 10^2 (100)^3 + 0,100 (100)^2 = 1,00 times 10^2 times 1.000.000 + 0,100 times 10.000 = 100.000.000 + 1.000 = 100.001.000 :
y = 0,50 times 10^-2 (100)^3 + 0,200 (100)^2 = 0,50 times 10^-2 times 1.000.000 + 0,200 times 10.000 = 5.000 + 2.000 = 7.000
Para a componente z = 5,00 times 10^3 = 5.000 :
A componente é constante:

Passo 4

Agora que temos as componentes Distância = |r| = raizx^2 + y^2 + z^2 no instante |r| = raiz(100.001.000)^2 + (7.000)^2 + (5.000)^2 s, podemos calcular a distância da aeronave em relação à estação de radar. A distância é a magnitude do vetor posição, que é dada pela fórmula:
â
Vamos substituir os valores:

Passo 5

Calculando os quadrados:
(100.001.000)^2 approx 1,00002 times 10^16
(7.000)^2 = 49.000
(5.000)^2 = 25.000
Somando:
|r| approx raiz1,00002 times 10^16 + 49.000 + 25.000 approx raiz1,00002 times 10^16 approx 1,00001 times 10^8 unidades
Portanto, a distância é aproximadamente unidades do Sistema Internacional.

Passo 6

Para determinar a direção em que a aeronave pode ser avistada, precisamos encontrar o vetor unitário na direção de r = r|r| . Isso é feito dividindo cada componente do vetor posição pela sua magnitude.
r = ( 100.001.0001,00001 times 10^8, 7.0001,00001 times 10^8, 5.0001,00001 times 10^8 )
Substituindo os valores:
r approx (1,00000, 7 times 10^-5, 5 times 10^-5)
Simplificando:
Isso significa que a direção é quase completamente na direção , com pequenas componentes em e .

Resposta

No instante de 100,0 segundos, a aeronave está a uma distância aproximada de unidades do Sistema Internacional em relação à estação de radar. A direção de avistamento é praticamente ao longo do eixo , com ligeiras inclinações nos eixos e .

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