Na Figura 9.38, o cilindro e a polia giram sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo que passa pelos seus centros. Uma corda leve é enrolada em volta do cilindro, passa sobre a polia e pensa por sua extremidade livre. Não há deslizamento entre a corda e a superfície da polia. O cilindro uniforme possui massa de e raio de .A polia é um disco uniforme com massa de e raio de . A caixa é liberada do repouso e cai à medida que a corda se desenrola do cilindro. Ache a velocidade escalar da caixa após ela ter caído .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício está relacionado à dinâmica rotacional e cinemática. Precisamos entender como a queda da caixa está relacionada à rotação tanto do cilindro quanto da polia. Para resolver, vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e as equações de movimento para sistemas rotativos e translacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na caixa. A caixa tem peso, que é a força gravitacional puxando ela pra baixo. Como a caixa está conectada à corda que está enrolada no cilindro, essa força vai gerar um torque no cilindro e na polia, fazendo eles girarem. Precisamos relacionar a força que a corda exerce com a aceleração da caixa e das rotações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia do cilindro e da polia. O momento de inércia (I) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra mudanças em seu movimento rotacional. Para um cilindro sólido, a fórmula é:
E para um disco (que é o caso da polia):
Onde:
  • é a massa do cilindro,
  • é o raio do cilindro,
  • é a massa da polia,
  • é o raio da polia.

Passo 4

Vamos considerar que não há atrito, então a única coisa que está fazendo o cilindro e a polia girarem é a força da corda. A aceleração da caixa ( ) está relacionada à aceleração angular ( ) pelas relações:
Mas como a corda não desliza, a aceleração angular do cilindro e da polia estão conectadas. Vamos relacionar as torques:
Torque no cilindro:
Torque na polia:
Onde é a tensão na corda.

Passo 5

Somando as torques e relacionando com a aceleração da caixa, temos:
Substituindo (já que ):
Fazendo o isolamento de :

Passo 6

Além disso, a segunda lei de Newton para a caixa nos dá:
Agora temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a aceleração .

Passo 7

Primeiro, expressamos da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
²
²
²
Calculando :
²
Agora, usando a cinemática para encontrar a velocidade após cair 1,50 m:

Resposta

A velocidade escalar da caixa após ter caído 1,50 metros é aproximadamente 3,76 m/s.

Exercícios relacionados

Um pássaro de está voando horizontalmente a , quando inadvertidamente colide com uma barra vertical fixa, atingindo-a abaixo do topo (Figura 10.63). A barra homogênea com de comprimento e massa de está presa por uma dobradiça na sua base. A colisão atordoa o pássaro, que cai ao chão em seguida. Qual é a velocidade angular da barra a) logo após ser atingida pelo pássaro
Os três elementos da estrutura têm peso por unidade de comprimento de pé cada um. Localize a posição , do centro de gravidade da estrutura. Despreze as dimensões dos pinos nas juntas e a espessura dos elementos. Calcule também as reações no apoio fixo .
Questão - Dado uma barra delgada uniforme de massa me comprimento L, determine:
(d) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado no centro da barra.
Questão: - uma esfera sólida de peso igual a sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a . Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de .
(b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?