Na Figura 9.38, o cilindro e a polia giram sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo que passa pelos seus centros. Uma corda leve é enrolada em volta do cilindro, passa sobre a polia e pensa por sua extremidade livre. Não há deslizamento entre a corda e a superfície da polia. O cilindro uniforme possui massa de 5,0 kg e raio de 40,0 cm.A polia é um disco uniforme com massa de 2,0 kg e raio de 20,0 cm. A caixa é liberada do repouso e cai à medida que a corda se desenrola do cilindro. Ache a velocidade escalar da caixa após ela ter caído 1,50 m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício está relacionado à dinâmica rotacional e cinemática. Precisamos entender como a queda da caixa está relacionada à rotação tanto do cilindro quanto da polia. Para resolver, vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e as equações de movimento para sistemas rotativos e translacionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando na caixa. A caixa tem peso, que é a força gravitacional puxando ela pra baixo. Como a caixa está conectada à corda que está enrolada no cilindro, essa força vai gerar um torque no cilindro e na polia, fazendo eles girarem. Precisamos relacionar a força que a corda exerce com a aceleração da caixa e das rotações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia do cilindro e da polia. O momento de inércia (I) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra mudanças em seu movimento rotacional. Para um cilindro sólido, a fórmula é:
Icilindro = 12 m r^2
E para um disco (que é o caso da polia):
Ipolia = 12 M R^2
Onde:
  • é a massa do cilindro,
  • é o raio do cilindro,
  • é a massa da polia,
  • é o raio da polia.

Passo 4

Vamos considerar que não há atrito, então a única coisa que está fazendo o cilindro e a polia girarem é a força da corda. A aceleração da caixa ( a = r alpha ) está relacionada à aceleração angular ( a = R alpha ) pelas relações:
taucilindro = T r = Icilindro alpha
taupolia = T R = Ipolia alpha
Mas como a corda não desliza, a aceleração angular do cilindro e da polia estão conectadas. Vamos relacionar as torques:
Torque no cilindro:
Torque na polia:
Onde é a tensão na corda.

Passo 5

Somando as torques e relacionando com a aceleração da caixa, temos:
T r + T R = Icilindro alpha + Ipolia alpha
Substituindo T r + T R = ( Icilindro + Ipolia ) ar (já que T (r + R) = ( Icilindro + Ipolia ) ar ):
Fazendo o isolamento de :

Passo 6

Além disso, a segunda lei de Newton para a caixa nos dá:
m a = m g - T
Agora temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a aceleração .

Passo 7

Primeiro, expressamos T = m g - m a da segunda equação:
(m g - m a)(r + R) = ( Icilindro + Ipolia ) ar
Substituímos na primeira equação:
a = m g rm (r + R) + Icilindro + Ipoliar
Resolvendo para Icilindro = 12 times 5,0 times 0,40^2 = 0,4 , kg·m² :
Ipolia = 12 times 2,0 times 0,20^2 = 0,04 , kg·m²
Substituindo os valores:
m = 5,0 , kg ²
g = 9,81 , m/s² ²
r = 0,40 , m
R = 0,20 , m ²
a = 5,0 times 9,81 times 0,405,0 times (0,40 + 0,20) + 0,4 + 0,040,40
a = 19,625,0 times 0,60 + 1,16
Calculando a = 19,623,0 + 1,16 :
a = 19,624,16
a approx 4,72 , m/s²
v^2 = 2 a d
v = raiz2 times 4,72 times 1,50
v = raiz14,16 ²
Agora, usando a cinemática para encontrar a velocidade após cair 1,50 m:
v approx 3,76 , m/s

Resposta

A velocidade escalar da caixa após ter caído 1,50 metros é aproximadamente 3,76 m/s.

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