Na Figura 9.38, o cilindro e a polia giram sem atrito em torno de um eixo horizontal fixo que passa pelos seus centros. Uma corda leve é enrolada em volta do cilindro, passa sobre a polia e pensa por sua extremidade livre. Não há deslizamento entre a corda e a superfície da polia. O cilindro uniforme possui massa de
e raio de
.A polia é um disco uniforme com massa de
e raio de
. A caixa é liberada do repouso e cai à medida que a corda se desenrola do cilindro. Ache a velocidade escalar da caixa após ela ter caído
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Esse exercício está relacionado à dinâmica rotacional e cinemática. Precisamos entender como a queda da caixa está relacionada à rotação tanto do cilindro quanto da polia. Para resolver, vamos usar conceitos de torque, momento de inércia e as equações de movimento para sistemas rotativos e translacionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando na caixa. A caixa tem peso, que é a força gravitacional puxando ela pra baixo. Como a caixa está conectada à corda que está enrolada no cilindro, essa força vai gerar um torque no cilindro e na polia, fazendo eles girarem. Precisamos relacionar a força que a corda exerce com a aceleração da caixa e das rotações.
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia do cilindro e da polia. O momento de inércia (I) é uma medida de quanta resistência um objeto tem contra mudanças em seu movimento rotacional. Para um cilindro sólido, a fórmula é:
E para um disco (que é o caso da polia):
Onde:
-
é a massa do cilindro, -
é o raio do cilindro, -
é a massa da polia, -
é o raio da polia.
Passo 4
Vamos considerar que não há atrito, então a única coisa que está fazendo o cilindro e a polia girarem é a força da corda. A aceleração da caixa (
) está relacionada à aceleração angular (
) pelas relações:
Mas como a corda não desliza, a aceleração angular do cilindro e da polia estão conectadas. Vamos relacionar as torques:
Torque no cilindro:
Torque na polia:
Onde
é a tensão na corda.
Passo 5
Somando as torques e relacionando com a aceleração da caixa, temos:
Substituindo
(já que
):
Fazendo o isolamento de
:
Passo 6
Além disso, a segunda lei de Newton para a caixa nos dá:
Agora temos duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar a aceleração
.
Passo 7
Primeiro, expressamos
da segunda equação:
Substituímos na primeira equação:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Calculando
:
Agora, usando a cinemática para encontrar a velocidade após cair 1,50 m:
Resposta
A velocidade escalar da caixa após ter caído 1,50 metros é aproximadamente 3,76 m/s.