Questão - Dado uma barra delgada uniforme de massa me comprimento L, determine:
(d) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado no centro da barra.
(d) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado no centro da barra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma barra delgada e uniforme com massa
e comprimento
. O que queremos encontrar é o momento de inércia dessa barra em relação a um eixo que passa pelo ponto central dela, que chamaremos de ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de física do momento de inércia e um pouquinho de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. Para uma barra delgada uniforme, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao centro pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui,
é o momento de inércia,
é a massa da barra e
é o comprimento.
Passo 3
Vamos entender de onde vem essa fórmula. Imagine que a barra é composta por pequenos pedaços de massa
distribuídos ao longo do comprimento. Cada pedaço contribui para o momento de inércia de acordo com a distância ao eixo central
. Matematicamente, isso é representado por:
onde
é a distância de cada pedaço ao eixo.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos expressar
em termos do comprimento. Como a barra é uniforme, a densidade linear
é:
Então, um pequeno pedaço de comprimento
tem massa
.
Passo 5
Agora, considerando que o eixo está no centro da barra, podemos definir as coordenadas de
até
. Substituindo
na integral:
Passo 6
Resolvendo a integral:
A integral de
de
a
é:
Aplicando isso:
Resposta
O momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo seu centro é: