Questão - Dado uma barra delgada uniforme de massa me comprimento L, determine:
(d) O seu momento de inércia em relação a um eixo passando pelo ponto 0 , situado no centro da barra.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos uma barra delgada e uniforme com massa e comprimento . O que queremos encontrar é o momento de inércia dessa barra em relação a um eixo que passa pelo ponto central dela, que chamaremos de ponto . Para isso, vamos usar conceitos de física do momento de inércia e um pouquinho de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. Ele mede a resistência de um objeto a mudanças em seu movimento de rotação. Para uma barra delgada uniforme, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao centro pode ser calculado usando a fórmula:
I = 112 m L^2
Aqui, é o momento de inércia, é a massa da barra e é o comprimento.

Passo 3

Vamos entender de onde vem essa fórmula. Imagine que a barra é composta por pequenos pedaços de massa I = integral r^2 , dm distribuídos ao longo do comprimento. Cada pedaço contribui para o momento de inércia de acordo com a distância ao eixo central . Matematicamente, isso é representado por:
onde é a distância de cada pedaço ao eixo.

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos expressar lambda = mL em termos do comprimento. Como a barra é uniforme, a densidade linear é:
Então, um pequeno pedaço de comprimento tem massa .

Passo 5

Agora, considerando que o eixo está no centro da barra, podemos definir as coordenadas de I = integral-L2^L2 x^2 cdot mL , dx até . Substituindo na integral:

Passo 6

Resolvendo a integral:
I = mL integral-L2^L2 x^2 , dx
A integral de integral-a^a x^2 , dx = 2a^33 de I = mL cdot 2 (L2)^33 = mL cdot 2 cdot L^383 = mL cdot L^312 = m L^212 a é:
Aplicando isso:

Resposta

O momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo seu centro é:
I = 112 m L^2

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