Questão: - uma esfera sólida de peso igual a sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a . Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de .
(b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de física onde uma esfera sólida está rolando para cima em um plano inclinado. A esfera pesa 35,58 N, o ângulo do plano é de 30 graus, e a velocidade inicial do centro de massa dela é de 4,88 m/s. A gente precisa descobrir até que distância a esfera vai subir nesse plano. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a massa da esfera. Sabemos que o peso está relacionado à massa pela fórmula:
Onde é a aceleração da gravidade, aproximadamente . Então, rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da esfera. Como ela está rolando, temos duas partes na energia cinética: a translacional e a rotacional.
A energia cinética translacional é dada por:
E a energia cinética rotacional é:
Onde é o momento de inércia da esfera e é a velocidade angular. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Como a esfera está rolando sem escorregar, a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular é:
Substituindo na fórmula da energia rotacional:
Então, a energia cinética total inicial é:

Passo 4

A energia que vai ser convertida em energia potencial quando a esfera sobe é dada por:
Mas como a esfera está subindo em um plano inclinado de ângulo , a altura está relacionada à distância percorrida pelo eixo do plano pela relação:
Então, substituindo na fórmula da energia potencial:

Passo 5

Para encontrar a distância máxima que a esfera percorre, igualamos a energia cinética inicial à energia potencial final:
Podemos simplificar cancelando a massa dos dois lados:
Isolando :
Agora, basta substituir os valores:
Sabendo que , temos:

Resposta

A esfera percorre aproximadamente 3,40 metros subindo o plano inclinado.

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