Questão: - uma esfera sólida (Ic m=2 / 5(W R^2)) de peso igual a P=35,58 N sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a theta=30^circ. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de V0=4,88 m / s.
(b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um exercício de física onde uma esfera sólida está rolando para cima em um plano inclinado. A esfera pesa 35,58 N, o ângulo do plano é de 30 graus, e a velocidade inicial do centro de massa dela é de 4,88 m/s. A gente precisa descobrir até que distância a esfera vai subir nesse plano. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a massa da esfera. Sabemos que o peso P = m cdot g está relacionado à massa m = Pg = 35,58 , N9,81 , m/s^2 approx 3,63 , kg pela fórmula:
Onde é a aceleração da gravidade, aproximadamente . Então, rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da esfera. Como ela está rolando, temos duas partes na energia cinética: a translacional e a rotacional.
A energia cinética translacional é dada por:
Etrans = 12 m v0^2
E a energia cinética rotacional é:
Erot = 12 I omega^2
Onde I = 25 m R^2 é o momento de inércia da esfera e v0 = omega R Rightarrow omega = v0R é a velocidade angular. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Erot = 12 cdot 25 m R^2 cdot (v0R)^2 = 15 m v0^2
Como a esfera está rolando sem escorregar, a relação entre a velocidade linear Etotal = Etrans + Erot = 12 m v0^2 + 15 m v0^2 = 710 m v0^2 e a velocidade angular é:
Substituindo na fórmula da energia rotacional:
Então, a energia cinética total inicial é:

Passo 4

A energia que vai ser convertida em energia potencial quando a esfera sobe é dada por:
Epot = m g h
Mas como a esfera está subindo em um plano inclinado de ângulo h = d sin theta , a altura Epot = m g d sin theta está relacionada à distância percorrida pelo eixo do plano pela relação:
Então, substituindo na fórmula da energia potencial:

Passo 5

Para encontrar a distância máxima 710 m v0^2 = m g d sin theta que a esfera percorre, igualamos a energia cinética inicial à energia potencial final:
710 v0^2 = g d sin theta
Podemos simplificar cancelando a massa d = 710 cdot v0^2g sin theta dos dois lados:
d = 710 cdot (4,88 , m/s)^29,81 , m/s^2 cdot sin 30^circ
Isolando d = 0,7 cdot 23,81444,905 approx 0,7 cdot 4,86 approx 3,40 , m :
Agora, basta substituir os valores:
Sabendo que , temos:

Resposta

A esfera percorre aproximadamente 3,40 metros subindo o plano inclinado.

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