Questão: - uma esfera sólida
de peso igual a
sobe rolando um plano inclinado, cujo ângulo de inclinação é igual a
. Na base do plano, o centro de massa da esfera tem uma velocidade linear de
.
(b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?
(b) Qual é a distância que a esfera percorre ao subir o plano?
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um exercício de física onde uma esfera sólida está rolando para cima em um plano inclinado. A esfera pesa 35,58 N, o ângulo do plano é de 30 graus, e a velocidade inicial do centro de massa dela é de 4,88 m/s. A gente precisa descobrir até que distância a esfera vai subir nesse plano. Para isso, vamos usar conceitos de energia cinética (tanto translacional quanto rotacional) e energia potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a massa da esfera. Sabemos que o peso
está relacionado à massa
pela fórmula:
Onde
é a aceleração da gravidade, aproximadamente
. Então, rearranjando a fórmula para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a energia cinética inicial da esfera. Como ela está rolando, temos duas partes na energia cinética: a translacional e a rotacional.
A energia cinética translacional é dada por:
E a energia cinética rotacional é:
Onde
é o momento de inércia da esfera e
é a velocidade angular. Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Como a esfera está rolando sem escorregar, a relação entre a velocidade linear
e a velocidade angular
é:
Substituindo
na fórmula da energia rotacional:
Então, a energia cinética total inicial é:
Passo 4
A energia que vai ser convertida em energia potencial quando a esfera sobe é dada por:
Mas como a esfera está subindo em um plano inclinado de ângulo
, a altura
está relacionada à distância
percorrida pelo eixo do plano pela relação:
Então, substituindo na fórmula da energia potencial:
Passo 5
Para encontrar a distância máxima
que a esfera percorre, igualamos a energia cinética inicial à energia potencial final:
Podemos simplificar cancelando a massa
dos dois lados:
Isolando
:
Agora, basta substituir os valores:
Sabendo que
, temos:
Resposta
A esfera percorre aproximadamente 3,40 metros subindo o plano inclinado.